Topologie

[minidiane]

ok merci mais je n'arrive pas à le démontrer :marteau:

[legeniedesalpages]

Si , comme A et B jouent des rôles symétriques, on peut limiter l'étude au cas où .

en fait on va utiliser la caractérisation séquentielle de la borne inférieure:
il existe une suite de points de qui a pour limite .
Notons .
Par définition de la limite, il existe un entier tel que

Donc pour tout entier , les termes de cette suite sont dans B, donc .

si , on suppose qu'il existe un point x de tel que .
Donc et , ce qui est absurde, donc a est un minorant de , d'où .

[minidiane]

J'ai un peu du mal à comprendre là :briques:

[minidiane]

Sa y est j'ai compris avec une bonne nuit de someille lol
Par contre je ne trouve toujours pas la dernière relation :mur:

[legeniedesalpages]

ben il faut penser comme pour la iii)

[minidiane]

Je trouve inf(A inter B)<=max(inf A, inf B) ou plutôt égale??

[legeniedesalpages]

Je trouve inf(A inter B)<=max(inf A, inf B) ou plutôt égale??

si tu prends , et ,

on a , , , donc il n'y a pas égalité.

[minidiane]

A oui en effet :briques:
donc se serait inf(A inter B)>max(inf A, inf B)

[legeniedesalpages]

Non,

on a bien inf(A inter B)<=max(inf A, inf B), mais en général on a pas inf(A inter B) = max(inf A, inf B) vu le contre-exemple que je t'ai donné.

[minidiane]

ah ok j'avais pas très bien compris

mais dans l'exemple que tu as donné on trouve que inf(A inter B)>max(inf A, inf B)

[legeniedesalpages]

ah oui pardon,

ce qu'il faut montrer c'est que inf(A inter B) >= max(inf A, inf B).

[minidiane]

ok merci pour le montrer il faut faire de la même manière que le iii)?

[thomasg]

Bonsoir,

cela peut se faire à l'aide de suites comme je l'ai proposé en page 1.

Remarque: comme on travaille dans R le théorème de la borne sup nous dit que tous les sup et inf considérés dans cet exercice existent.

il existe (un), une suite d'éléments de A inter B, qui converge vers inf(A inter B)

cette suite constituée d'éléments de A converge donc nécessairement vers un nombre supérieur ou égal à inf(A). (cela se prouve par l'absurde comme dans mon premier message en page 1)

cette suite constituée d'éléments de B converge donc nécessairement vers un nombre supérieur ou égal à inf(B).

Donc inf(A inter B) supérieur ou égal à inf(A) et inf(B).

A bientôt.

[minidiane]

ok merci thomasg
voici ce que j'ai fait

il existe une suite (xn) appartenant à A qui converge vers x>=inf A
il existe une suite (yn) appartenant à B qui converge vers y>=inf B
Soit zn=xn inter yn, zn appartient donc à A inter B et zn converge vers z>=max(infA, inf B)

D'ou fin(A inter B)>=max(inf a, inf B)

Est-ce bien rédigé?

[aviateurpilot]

zn=xn inter yn que veux tu dire par inter,
c'est faux puisque par exemple 1 inter 2 n'a aucune signification

i) sup(A+B)
ii) sup(AUB)
iii) sup(A inter B)
iv) inf (AUB)
v) inf(A inter B)

i)
ii)
iii)
iv)
v)
maintenant dit moi dans quel ligne vous avez une difficulté.

[minidiane]

Ben déjà dans la dernière vu que en effet zn=xn inter yn que veux tu dire par inter n'est pas correcte

[aviateurpilot]

Ben déjà dans la dernière vu que en effet zn=xn inter yn que veux tu dire par inter n'est pas correcte

soit
on a donc et
donne
donne
donc

on a montrer ci-dessus que pour quelconque dans on a , autrement dit est un minorant de .et puisque est le plus grand des minorants on a donc

[minidiane]

:we: merci

sinon j'ai du mal avec la première aussi j'ai un truc assez compliqué en fait, voici ce que j'ai:

soit z appartenant A+B implique z=x+y, avec x appartient à A et y appartient à B implique z=x+y<=supA+supB. Donc supa+supB est un majorant pour A+B implique sup(A+B)<=supA+supB
Soit x appartenant à A et y appartenant à B implique x+y appartient à A+B implique x+y<=sup(A+B) équivalent à x<=sup(a+B)-y
Donc sup(A+B)-y est un majorant pour A implique supA<=sup(A+B)-y, quelque soit y appartenant à B. Parce que A est bornée supA<=sup(A+B)-y quelque soit y appartenant à B implique y<=sup(A+B)-supA, quelque soit y appartenant à B implique supB<=sup(A+B)-supA équivalent à supA+supB<=sup(A+B).
On obtient que sup(A+B)=supA+supB.

Voilà je pense qu'il y a plus simple mais j'ai pas trouvé

[aviateurpilot]

voila plus simple.

donc
soit

donc on et
par suite

[minidiane]

super merci

Je vais encore t'embêter un peu désolé mais pour la iv) pareil j'ai une version assez longue et compliqué en as-tu une courte?