Topologie

[Samoutcha]

Bonsoir ,
Je me demande si quelqu'un parmi vous poura m'aider à résoudre cette exercice :
Soit E un ensemble. Un écart sur E est une application notée e, vérifiant tous les axiomes d'une distance, à l'exception de l'axiome de séparation, remplacé par l'implication : x=y ==> e(x,y) =0 . Par exemple, montrer que la formule e(x,y)=|x^2 - y^2| définit un écart sur R est non une distance. Soit donc e un écart sur E. on définit une relation binaire R sur E par : pour tout x,y dans E, xRy <==> e(x,y) =0.
1- vérifier que R est d'équivalence.
2- désignons par F l'ensemble quotient et pour x appartenant à E, x' la classe de x. Montrer que la formule d(x',y') = e(x,y) est bien définie, i.e. Ne concerne que les classes et définit une distance sur F.

J'ai montré que R est d'équivalence mais pour la deuxième question je sais même pas par où commencer

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu écrit comme définition de d(x',y') que d(x',y'):=e(x,y) , le gros problème, c'est que pour la même classe x' de F=E/R, ben y'a à priori des tas d'élément x de E tels que x' soit la classe de x donc il faut vérifier que e(x,y) ne dépend que de la classe x' et pas du représentant x choisi dans cette classe (et bien sur idem pour y).

Bref, il faut vérifier que, si x1 et x2 sont dans la même classe et que y1 et y2 sont dans le même classe alors e(x1,y1)=e(x2,y2).

[chan79]

2- désignons par F l'ensemble quotient et pour x appartenant à E, x' la classe de x. Montrer que la formule d(x',y') = e(x,y) est bien définie, i.e. Ne concerne que les classes et définit une distance sur F.

Salut
Pour montrer que d est définie correctement:
tu supposes que e(x1,x2)=0 et e(y1,y2)=0
il faut montrer e(x1,y1)=e(x2,y2)
or



on sait que e est symétrique

[Samoutcha]

Merci à vous deux