Topologie

[magyy]

Bonjour,
je bloque sur cet exo:
Soit (E,d) un espace métrique
Montrer que pour tout x,y,z appartenant à E

je pensais utiliser l'inégalité triangulaire de la distance à savoir
mais je ne sais pas comment aboutir à l'inégalité demandée.

Merci d'avance!

[Robot]

L'inégalité à démontrer équivaut à la conjonction des deux inégalités :

[Ben314]

Remarque : Une fois le résultat démontré proprement, on peut ensuite constater qu'il correspond parfaitement avec "l'intuition géométrique" (ce qui n'est pas toujours le cas...) :
Si tu as un triangle ABC tel que AB=10cm et BC=3cm, quelle est la valeur maximale possible pour AC ?
la valeur minimale possible ?

Attention par contre au fait qu'en géométrie "usuelle", le max et le min sont "atteint" lorsque A,B,C sont "alignés" alors que dans un espace métrique quelconque, la notion "d'alignement" ne veut rien dire et que, dans le cas d'un espace vectoriel normé, bien que la notion "d'alignement" ait un sens, ce n'est pas uniquement dans ce cas là qu'on aura le max et le min.

[magyy]

Ok, pour montrer la premiere inégalité
j'ai introduit le signe "-" au niveau de l'inégalité triangulaire ce qui me donne

je n'arrive pas a retrouver l'inégalité...

[Ben314]

L'inégalité à démontrer équivaut à la conjonction des deux inégalités :

Cette "double inégalité" à démontrer, si tu l'écrit sous la forme de deux inégalités distinctes avec que des + devant les d(?,?), ça te donne quoi ?

[zygomatique]

salut

je pensais utiliser l'inégalité triangulaire de la distance à savoir

tout le pb est de mettre les lettres x, y et z au bon endroit dans la relation :: d(? , ?) =< d(?, ?) + d(?, ?)

[Robot]

C'est pourtant du maniement basique d'inégalités (rappel : si on ajoute la même quantité de chaque côté d'une inégalité, celle-ci est préservée).
Dans l'inégalité triangulaire

les noms des variables n'ont pas d'importance, ce sont des variables muettes. C'est tout aussi bien

[magyy]

Ok, cette double inégalité si je l'écris sous la forme de deux inégaités distincte j'aurais:
et

[Robot]

rappel : si on ajoute la même quantité de chaque côté d'une inégalité, celle-ci est préservée.

[magyy]

je ne vois pas la quantité que je dois ajouter...

[Ben314]

Cette "double inégalité" à démontrer, si tu l'écrit sous la forme de deux inégalités distinctes avec que des + devant les d(?,?), ça te donne quoi ?

[magyy]

j'aurais et ...

[zygomatique]

....

[Ben314]

j'aurais et ...

Bilan : ben faudrait peut-être réviser les leçons du colège concernant la façon dont on manipule les inégalités, parce que là, c'est pas bon...

[magyy]

C'est bon maintenant ,j'y vois plus clair !
Merci à tous!