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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 13 Aoû 2015, 00:18

Robot a écrit:Alors c'est que Sake écrit n'importe quoi, puisqu'il a formulé sa question ainsi : "sur R, la boule fermée ... "
Oui...
Sake a écrit:Une autre question : Sur R, la boule fermée de centre 1/(2n) et de rayon 1/(2n) c'est ]0,1/n] ou [0,1/n] ?
... et non...
Sake a écrit:On travaille dans un sous-ensemble de R et la distance utilisée est liée à la norme |.|, de telle manière que pour tout x et y dans R, d(x,y) = |x - y|
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius



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Sake
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par Sake » 18 Aoû 2015, 13:11

On note la distance d'un point x à un ensemble Y, avec d la métrique associée à l'ensemble X dans lequel est inclus Y. Soit l'application f_Y qui à x associe D(x).

Pour montrer que x appartient à l'adhérence de Y ssi f_Y(x) = 0, j'ai procédé par double implication, mais je me demande si la rédaction est propre :

1) Si f_Y(x) = 0, alors D(x) = 0 i.e. il existe y0 appartenant à Y tel que d(x,y0) = 0 d'où x = y0 par propriété de séparation de d. Ainsi, x appartient à Y et donc à l'adhérence de Y puisque Y est inclus dans ce dernier.

2) Si x appartient à l'adhérence de Y, et si x appartient à Y, il est trivial que D(x) = 0.
Si x appartient à l'adhérence de Y mais pas à Y, alors pour tout epsilon strictement positif, l'intersection de la boule ouverte de centre x et de rayon epsilon avec Y est non vide (définition de l'adhérence). On peut donc trouver un y1 limite appartenant à Y (et plus précisément à l'intersection), pour epsilon tendant vers 0, tel que d(x,y1) = 0 (c'est légitime de faire ça ?).

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Ben314
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par Ben314 » 18 Aoû 2015, 16:46

Pour le 1), erreur MONUMENTALE (et hélas classique...) dans la définition de D(x), c'est un inf que tu as et pas un min, ce qui est parfaitement normal vu qu'il n'y a aucune raison pour que l'ensemble des d(x,y) {avec x fixé et y parcourant Y} admette un plus petit élément. Par exemple, si X=R muni de la distance usuelle, Y=]-1,1[ et x=3 alors l'ensemble des d(x,y) {y parcourant Y} est ]2,4[ qui admet un inf, à savoir 2, mais pas un min. vu que 2 n'est pas dans ]2,4[. Donc dans ce cas, d(x,Y)=2, mais il n'existe aucun y de Y tel que d(x,y)=2.
De plus, là où tu devrait voir que c que tu raconte est stupide, c'est que tu déduit de d(x,Y)=0 que, non seulement x est dans l'adhérence de Y, mais même qu'il est dans Y ce qui est incohérent avec le truc que tu es sensé montrer.

Pour le 2), c'est effectivement la bonne idée, modulo que
- Le cas où x est dans Y n'est pas franchement à traiter "à part"
- La rédaction n'est pas super propre : ça donne un peu l'impression que tu n'est pas bien clair concernant la définition rigoureuse de ce qu'est un inf et donc que tu as du mal a voir exactement ce qu'il faut écrire pour démontrer que l'inf vaut 0.
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Sake
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par Sake » 18 Aoû 2015, 19:55

Ben314 a écrit:Pour le 1), erreur MONUMENTALE (et hélas classique...) dans la définition de D(x), c'est un inf que tu as et pas un min, ce qui est parfaitement normal vu qu'il n'y a aucune raison pour que l'ensemble des d(x,y) {avec x fixé et y parcourant Y} admette un plus petit élément. Par exemple, si X=R muni de la distance usuelle, Y=]-1,1[ et x=3 alors l'ensemble des d(x,y) {y parcourant Y} est ]2,4[ qui admet un inf, à savoir 2, mais pas un min. vu que 2 n'est pas dans ]2,4[. Donc dans ce cas, d(x,Y)=2, mais il n'existe aucun y de Y tel que d(x,y)=2.
De plus, là où tu devrait voir que c que tu raconte est stupide, c'est que tu déduit de d(x,Y)=0 que, non seulement x est dans l'adhérence de Y, mais même qu'il est dans Y ce qui est incohérent avec le truc que tu es sensé montrer.

Pour le 2), c'est effectivement la bonne idée, modulo que
- Le cas où x est dans Y n'est pas franchement à traiter "à part"
- La rédaction n'est pas super propre : ça donne un peu l'impression que tu n'est pas bien clair concernant la définition rigoureuse de ce qu'est un inf et donc que tu as du mal a voir exactement ce qu'il faut écrire pour démontrer que l'inf vaut 0.

Merci pour ces éclaircissements.

Pour la 1, il est vrai que j'ai oublié que Y est inclus dans son adhérence et pas l'inverse, alors que j'ai dû le dire.
Donc pour contourner la difficulté de l'inf, je fais comment ?

Robot

par Robot » 18 Aoû 2015, 22:39

Simplement appliquer la définition de l'inf et la définition de l'adhérence.

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Sake
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par Sake » 26 Aoû 2015, 00:15

Bonsoir,

On définit la notion de mesure extérieure de E, sous-espace de R, par avec (I_j) un recouvrement de E par un ensemble fini ou infini d'ouverts de R (intervalles ouverts), l(I_j) étant la longueur de l'intervalle I_j.

Si j'ai bien compris, s'agit-il en quelque sorte d'une quantification de la longueur de E ? Je me représente cette quantité par la somme des longueurs des intervalles d'une réunion d'intervalles non disjoints sur E (car ce ne serait pas un recouvrement si certains points de E n'appartenaient pas à cette réunion) mais collés, de telle sorte que leur intérieur soient confondus. Car il me semble intuitivement que la somme des l(I_j) ne peut être "minimale" que lorsque les intervalles qui composent ce recouvrement sont a priori le plus espacés possible sans pour autant être disjoints. Est-ce ceci qu'il faut se représenter ?

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zygomatique
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par zygomatique » 26 Aoû 2015, 16:16

oui ........................
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Sake
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par Sake » 26 Aoû 2015, 17:44

Merci pour ta réponse Zygomatique :)

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 26 Aoû 2015, 18:03

OOOoooh la belle formule que je ne comprends paaaaaas. :doh: :ptdr:

 

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