Bonjour,
Voici le dernier exercice de topologie qui me tracasse :
Soit un espace métrique et
Pour tous les x,y dans E on pose si , 0 sinon.
1) Montrer que est une distance sur E.
2) Soit
Quelle est la boule ouverte de centre b et de rayon d(a,b) dans l'espace métrique ?
3) Soient un espace métrique et une application.
Montrer que (i) (ii) (iii) :
i) L'application f est continue de dans
ii) L'application f est continue en a de dans
iii) L'application f est continue en a de dans
4) Soit A une partie de E
4.a) Montrer que si alors A est ouvert dans E muni de la distance
4.b) On suppose que Montrer que A est ouvert pour ssi A est un voisinage de a pour la distance d.
Pour (1) : pas de pb.
Pour (2) : Je trouve
Bizarre, n'est-ce-pas ?
Pour (3) : (i) => (ii) est évident.
Mais comment doit-on rédiger (ii) => (iii) et (iii) => (i) ?
Enfin, je pense que la question (4) est fortement liée à la réponse apportée à la question (2).
Avez-vous des pistes ?
En tout cas, merci beaucoup pour vos suggestions.
Cordialement,
Erik.