je suis un cours de topologie en ce moment et je bute sur un exercice qui m'a pourtant l'air très simple :
X et Y sont deux espaces topologiques. On dit qu'un point x est proche d'un ensemble A si x est dans la fermeture de A. Soit f une fonction de X dans Y et x un point de X.
Montrer que f est continue en x si et seulement si pour tout sous ensemble A de X, x proche de A implique f(x) proche de f(A).
Ca fait beaucoup penser à une caractérisation de la continuité par les suites dans le cas mètrique, mais bien évidemment tout ceci est hors de propos pour l'exercice.
Voilà si vous avez une indication à me donner ce serait fort sympathique, en fait je ne sais pas quelle "définition" de la continuité en un point adopter (sachant que dans mon cours, on dit que f est continue en x si pour tout voisinage N de f(x), f^-1(N) est un voisinage de x). Je n'arrive pas à passer de cette définition en terme d'ensemble initial à cette caractérisation directe (propriété dans X => propriété dans Y).
Merci d'avance.