Topologie séparée : Points adhérents

[Asterphoenix]

Bonjour.. j'ai trouvé ça dans un livre :
Dans le cas E non séparé, on peut avoir des points adhérents
qui sont ni isolés, ni d'accumulation. Par exemple E ={1,2} muni de la topologie
grossière n'est pas séparé et tout point de E est adhérent à A ={1}, mais
aucun n'est ni isolé, ni d'accumulation.
alors que j'ai cherché et trouvé que 1 est isolée et 2 est un point d'accumulation.. ???

[Ben314]

Salut,
Le GROS problème, surtout si tu compte travailler dans des espaces topologiques non séparés, c'est déjà de bien s'entendre sur ce qu'on prend comme définition de "point isolé" et de "point adhérent".

Et tu bien sûr que celle que tu utilise sont les même que celle du livre où tu as trouvé ton exemple ?
Et ce que c'est bien ça tes définitions ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_isol%C3%A9
https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_d%2 ... A9matiques)

[pascal16]

j'ai regardé "topologie grossière", j'ai abandonné de comprendre la notion pour en comprendre les enjeux.

[Ben314]

La topologie grossière (et la topologie discrète), sur le principe, c'est exactement la même chose que le singleton {0} et l'espace E tout entier pour les espaces vectoriels, à savoir le "plus gros" et "le plus petit" qu'on puisse faire.
Et exactement comme pour les e.v., ça a n'a pas d'intérêt "en temps que tel" c'est à dire que d'étudier le s.e.v. {0} ou le s.e.v. "E tout entier", c'est pas bien passionnant.

Bref, pour revenir à la question la "topologie grossière" sur E={1,2} c'est celle où les seuls ouverts sont l'ensemble vide et E tout entier. Donc évidement il n'y a aucun point isolés dans E (1) et tout point est adhérent à l'ensemble {1} (2) vu que le seul ouvert non vide, c'est E tout entier qui rencontre évidement {1}.

(1) Avec la définition la plus fréquente de "point isolé", c'est à dire "x est isolé" <=> {x} est ouvert.
(2) Avec la définition "usuelle" de "point adhérent", c'est à dire que "x est adhérent à la partie A" <=> tout ouvert contenant x rencontre A.