Topologie (révision)

[sandrine_guillerme]

Bonjour à tous,

je précipite un peu les choses, histoire de me mettre un peu dans le bain,

commençons alors par des questions très simple (qui me pose problème)

[Distance] :

Soit un espace métrique et une application croissante sous-additive et ne s'annulant qu'en 0:
Mq est une distance.

faut donc vérifier les 3 propriétés :

On a est croissante et sous additive càd
pour tout a,b postives on a
ce qui vérifie immédiatement les trois propriétés

mais pour l'écrire rigoureusement j'ai un peu de mal .. (suffit il de dire qu'on a la distance toujours positive, donc on a pas de problème avec la composée .. ?) (pouquoi exisge t on la condition sur qui ne doit s'annuler qu'en 0? )


merci ..

[sandrine_guillerme]

Exact,

Merci :++:

[sandrine_guillerme]

Et moi je suis d'accord,

j'avais des problèmes pour composer avec mais ça n'as pas l'air de poser problème,

J'avancerais, j'aurais certainement d'autre questions ..

Merci Rain !!

:happy3:

[sandrine_guillerme]

ceci dit, si tu as un exemple .. d'une composée d'une application qui vérifie ces propriétés , ça sera avec plaisir..

[sandrine_guillerme]

Merci Rain'

Mais je ne suis pas sur que je me suis faite comprendre:

ce que j'ai demandé c'est un exemple de disance J'ai un peu du mal à le voir,

[kazeriahm]

tu considères une distance d sur un espace E, mais alors tu as le choix le choix,

et pour phi tu prends une des applications proposées par Rain, tu peux rajouter toutes les fonctions puissances, x->x^a

[sandrine_guillerme]

Rain' j'ai compris ce que tu veux dire
kazeriahm je suis pas vraiment d'accord ..


Passant maintenant à une autre question :
quelle est la différence entre un espace metrique et un espace normé.

Dans un espace metrique on définit une distance, dans un espace normé, on définit une norme.

Mais souvent on définit d(x,y) = ||x-y|| ..

[kazeriahm]

oula vraiment pardon le réveil est difficile

bah une norme induit une distance mais toute distance n'est pas induite d'une norme

par exemple sur un espace E non vide, tu peux définir la distance dite grossière d(x,y)=0 si x est égal à y, 1 sinon

[sandrine_guillerme]

Ok, Un espace normé est métrique, en posant d(x,y) = ||y-x|| où ||.|| est une norme.

En revanche un espace métrique n'est pas forcément normé, car il faut une notion d'espace vectoriel sur notre espace métrique pour parler de normes.

ça va ?

[kazeriahm]

bah non pour avoir une norme tu dois avoir définit une addition et une multipliction externe

en plus si N(x)=d(z,x), N(x)=0 ssi x=z.....

oui sandrine

[sandrine_guillerme]

bah non pour avoir une norme tu dois avoir définit une addition et une multipliction externe

en plus si N(x)=d(z,x), N(x)=0 ssi x=z.....

C'est ce que j'ai bien dis non ?

[kazeriahm]

oui c'était une réponse au post de Rain, on a posté les notres en meme temps, donc j'ai modifié le mien en rajoutant "oui sandrine"

[sandrine_guillerme]

ok, Maintenant je veux bien un exemple d'un espace mètrique qui n'est pas normé .. s'il vous plaît ..

[sandrine_guillerme]

oui c'était une réponse au post de Rain, on a posté les notres en meme temps, donc j'ai modifié le mien en rajoutant "oui sandrine"

Et moi j'ai supprimé mon message quand j'ai vu "oui sandrine"

[kazeriahm]

par exemple sur un espace E non vide, tu peux définir la distance dite grossière d(x,y)=0 si x est égal à y, 1 sinon

voilà un exemple de distance sur un espace quelconque

[sandrine_guillerme]

D'accord, Merci .. :++:

[legeniedesalpages]

bah une norme induit une distance mais toute distance n'est pas induite d'une norme

par exemple sur un espace E non vide, tu peux définir la distance dite grossière d(x,y)=0 si x est égal à y, 1 sinon

On peut aussi remarquer que dans un -espace vectoriel , une distance n'est pas toujours induite d'une norme .

En effet, étant donné une distance sur un espace , il n'existe pas forcément une norme sur tel que pour tous on ait .

Un contre-exemple:

la distance sur : définie telle que pour tous , .

Si une telle norme existerait, on aurait , alors que pour tout entier , on a .

[sandrine_guillerme]

Merci legeniedesalpages pour cette petite précision fort intéréssante,
revenons à notre application
On signale deux cas particuliers intéréssants :

et . les distances et ont la propriété d'être topologiquement équivalentes .. :hein:

Avez vous compris quelquechose vous?
Autrement que signifie topologiquement équivalent?

[sandrine_guillerme]

ok, C'est le seul point qui me séduit en physique, en négligeant des choses par rapport à d'autres on s'en sort parfaitement :++: mais c'est pas assez convaincant,

de toute manière ce que j'ai retenu de ton post rain' c'est que ces distances (citées) sont bornées par 1 sur X, et ça c'est pas mal, parce que ça me conduit à poser une question,

Pourquoi suppose t on toujours une distance bornée ?

enfin, ça nous aide à quoi?

une idée Rain' ?


:we:

[legeniedesalpages]

Autrement que signifie topologiquement équivalente?

En fait, quand tu munis un ensemble d'une distance , tu définis une structure topologique particulière, l'espace métrique . On définit les ouverts de cette topologie comme les unions de boules ouvertes .


Pour répondre à ta question: dire que deux distances sur sont topologiquement équivalentes signifie qu'elles définissent les mêmes ouverts sur .