Topologie (révision)

[sandrine_guillerme]

dire que deux distances sur sont topologiquement équivalentes signifie qu'elles définissent les mêmes ouverts sur .

ça je savais pas .. merci,

je crois que ça répond à ta question aussi Rain' ..

[sandrine_guillerme]

Une petite précision :

Un espace topologique est un couple (X,O) où X est un ensemble et O est une famille de parties de X, appelées ouverts , vérifiant

1/ toute réunion d'ouverts est un ouvert.
2/une intersection finis d'ouverts est un ouvert
3/ X et l'ensemble vide des ouverts .


ça vous va ?

[legeniedesalpages]

oui les distances , et donnent la même topologie, l'avantage des deux dernières sont qu'elles sont inférieures à 1, ce qui peut parfois servir.

[legeniedesalpages]

Une petite précision :

Un espace topologique est un couple (X,O) où X est un ensemble et O est une famille de parties de X, appelées ouverts , vérifiant

1/ toute réunion d'ouverts est un ouvert.
2/une intersection finis d'ouverts est un ouvert
3/ X et l'ensemble vide des ouverts .


ça vous va ?

C'est de cette définition que je suis souvent parti, sauf un de mes profs qui a préféré partir par les fermés les trouvant plus intuitifs, mais c'est de toute façon équivalent.

[sandrine_guillerme]

Je ne sais pas si vous avez fait attention à mon post là ..

mais je le repost au cas ou

Pourquoi suppose t on toujours une distance bornée ?

enfin, ça nous aide à quoi?

une idée Rain' ?


:we:

EDIT : Ou bien legeniedesalpages qui vient de se joindre à nous :we:

[sandrine_guillerme]

C'est de cette définition que je suis souvent parti, sauf un de mes profs qui a préféré partir par les fermés les trouvant plus intuitifs, mais c'est de toute façon équivalent.

Si tu as plus détail, (à mon niveau) je suis preneuse ..

[legeniedesalpages]

c'est un peu vague comme question, surtout que personnellement je n'ai pas souvent croisé de distances bornés.

Quand tu as des distances équivalentes tu choisis celle qui va être le plus pratique à résoudre ton problème, c'est pour ça je pense qu'il est commode d'avoir une palette de distance sur un ensemble, un peu comme les normes , et sur .

Par exemple, si tu veux montrer la continuité de l'application de dans tu utiliseras plutôt la norme qui sera plus commode.

[legeniedesalpages]

Si tu as plus détail, (à mon niveau) je suis preneuse ..

Tu peux partir soit des ouverts, soit des fermés, soit des voisinages quand tu démarres la topologie, ça donnera de toutes façons les mêmes résultats.

Toi tu pars des ouverts. Après tu définiras un fermé comme le complémentaire d'un ouvert, et les voisinages comme une partie qui contient un ouvert.

Quand tu commences par les fermés tu pars de la définition suivante:

1/ toute intersection de fermés est un fermé;
2/ toute réunion finie de fermés est un fermé;
3/ X et l'ensemble vide sont des fermés.


Quand tu commences par les voisinages, tu pars de cette définition:

1/ tout voisinage de contient , et tout a au moins un voisinage;
2/ tout ensemble contenant un voisinage de est un voisinage de ;
3/ L'intersection de deux voisinages de est un voisinage de ;
4/ Si est un voisinage de , il existe un sous-voisinage de (c'est à dire que ) tel que soit un voisinage de chaque point de .

[sandrine_guillerme]

Ok, merci pour ces éclaircissements :id:

[legeniedesalpages]

Topologiquement équivalentes ça a pas un rapport avec norme équivalentes,

un truc du style pour tout u, il existe a et b tel que ?

Oui, comme pour les normes, quand les distances sont comparables, elles sont équivalentes.

[sandrine_guillerme]

Oui, comme pour les normes, quand les distances sont comparables, elles sont équivalentes.

ah bon ?

Distances éqivalentes s'il existe une relation d'ordre entre eux .. alors ?

[sandrine_guillerme]

Bonjour,

[Espaces topologiques]

Est ce que quelqu'un aurait des exemples d'espaces topologiques, un peu concret entre autres, parceque j'ai cherché sur wiki, Et j'ai pas tout compris .


Merci .

[alben]

Bonjour,
Est ce que quelqu'un aurait des exemples d'espaces topologiques, un peu concret entre autres, parceque j'ai cherché sur wiki, Et j'ai pas tout compris .
Merci .

Bonjour Sandrine,
Je me permet de reformuler ta question : trouver un exemple d'espace topologique qui ne soit pas métrique ni métrisable (on dit qu'un espace est métrisable si l'on peut trouver une distance qui donne la même topologie).
En dehors du cas trivial de la topologie grossière, ce n'est pas évident, il faut aller dans des ensembles de fonctions exotiques

[sandrine_guillerme]

Bonjour alben,

Comme par exemple ?

[legeniedesalpages]

Salut, comme exemple d'espaces non métrisables, j'ai eu celui-ci récemment en exo:

Soit l'ensemble des applications quelconques de dans lui-même. Pour toute , on appelle ensemble élémentaire de centre tout ensemble où ce symbole désigne l'ensemble des telles que et où les sont des points de .
On appelle "ouvert" de toute réunion d'ensembles élémentaires.

Il me semble que c'est la topologie de la convergence simple.

Mais Sandrine, tu demandais des exemples d 'espaces topologiques non métrisables ou quelconques?

[tize]

Bonjour,
comme par exemple la topologie decrite ici...

[alben]

Je n'ai pas trouvé grand chose de plus que les deux exemples ci-dessus, ce qui veut dire que ce n'est pas si fréquent...

[legeniedesalpages]

la topologie de Zariski est-elle métrisable?

[alben]

la topologie de Zariski est-elle métrisable?

dans le cas général, elle n'est même pas séparée.

[sandrine_guillerme]

Merci pour vos réponses !

Que ce qu'une topologie de Zariski? et pourquoi n'est elle pas séparée dans le cas générale ?