Topologie, Ouverts, Fermés, CPGE

[LuckyLucas77]

Bonjour,

Ma question concerne les Espaces vectoriels normés. Lorsque j'effectue des exercices, je n'ai en général pas trop de problèmes a prouver qu'un ensemble est ouvert (resp fermé) si cela est annoncé dans la question. Cependant, lorsque la question est formulée du type : "les ensembles suivants sont ils ouverts ou fermés ? ", j'ai en général du mal à le deviner et donc de le prouver. Ceci est d'autant plus vrai, lorsque les espaces deviennent un peu plus compliqués, ou lorsqu'on change de norme. Je souhaiterais donc savoir, comment est ce que je peux développer mon intuition, pour pouvoir répondre a ce genre de question.

Un exemple d'exercice avec lequel j'aurais du mal (ne sachant pas au préalable si les ensembles sont ouverts ou fermes) ) :



Dans l'idéal, vous m'expliquez comment faire sans remarquer que ce sont des images réciproques par des formes linéaires continues.

Merci d'avance,

[Ben314]

Salut,
Pour ce type d'exo., normalement la logique est relativement simple : si ton ensemble est défini avec des inégalités strictes, il y a de forte chance que, s'il est quelque chose, ça sera plutôt un ouvert (les cas "limite" ne seront pas dedans) et, si c'est des inégalités large ou des égalités, ça risque plutôt d'être (éventuellement) un fermé (les cas "limite" seront dedans).
Mais bon, ce pas une "règle absolue" . . .

Là, dans ton exo., E va être ouvert, mais uniquement pour une des deux normes proposées. Par contre il n'est fermé ni pour l'une ni pour l'autre (inégalité stricte).
Et F, lui, il est fermé pour les deux normes et ouvert pour aucune des deux (inégalité large).

P.S. Les applications qui servent à définir tes ensembles sont effectivement linéaire, mais pas systématiquement continue.

[LuckyLucas77]

Premièrement, merci beaucoup pour la réponse.

Serait-il possible de savoir comment (vous avez deviné cela)/(Vous en êtes arrive a là): "E va être ouvert, mais uniquement pour une des deux normes proposées. " (Est ce quelque chose que vous voyez a l'œil? Faut-il essayer de passer par la définition d'un ouvert, puis voir que ça "bloque" pour une des 2 normes ? )

D'avance merci.

[Ben314]

Vu les définitions respectives, c'est assez simple de visualiser ce que ça signifie pour deux fonction d'être "proches" au sens de la norme et d'être "proches" au sens de la norme .
Et on visualise bien que que, si elles sont proches pour la norme ça implique que leur valeurs en sont proches donc que l'application est continue (ce qui se démontre en une ligne).
Par contre, si elles sont proches pour la norme ça signifie que la surface entre les deux est faible et ça n'implique pas du tout que leur valeurs en sont proches (et le contre exemple est facile à construire) donc l'application n'est pas continue.

Donc, oui, dans un cas pareil, on voit "à l'oeil" de quoi il retourne et les preuves "carrées" s'en déduisent rapidement (et sont très courtes).