Topologie : Hausdorff

[Lodie]

Bonjour tout le monde,
Je veux démontrer que l'ensemble R des réels a la propriété de Hausdorff : cad :
Pour tout (x, y ) € R², avec x différent de y , Il existe (V,W) € V(x)*V(y) , V inter W= 0 ( ensemble vide)
V(x) étant le voisinage de x et V(y) le voisinage de y
Merci d'avance je torune en rond depuis un certain temps

[Zebulon]

Bonjour,
est un espace métrique, et comme tout espace métrique, il est séparé.
Pour le montrer dans un espace métrique quelconque :
soient x et y appartenant à E, soit d=d(x,y), alors et sont deux ouverts contenant l'un x, l'autre y, et ces ouverts ne se rencontrent pas.

[Lodie]

dsl mais je n'ai pas encore vu les espace métrique...

[Zebulon]

Un espace métrique (E,d), c'est un ensemble E muni d'une distance d.
Une distance, c'est une application vérifiant :

d(x,y)=d(y,x)
.
Ca ne te dit rien ?
Dans , la distance usuelle est d(x,y)=|x-y|, et une boule ouverte n'est rien d'autre qu'un intervalle ouvert : B(a,r)=]a-r,a+r[.
Essaie de traduire dans le cas ce que j'ai dit dans le post précédent (en tenant compte de la phrase en rouge :happy3: )

[yos]

Avec d=d(x,y), les intervalles ]x-d/2,x+d/2[ et ]y-d/2,y+d/2[ sont des voisinages de x et y respectivement et sont disjoints.