Topologie *faible

[Trident]

Salut à tous, j'ai un peu du mal à comprendre quelque chose à propos de la topologie *faible. Soit E un espace vectoriel normé. On note son dual, c'est à dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E. On rappelle que la topologie *faible est la topologie la moins fine (i.e. celle qui contient le strict minimum d'ouverts) rendant continue les applications où x parcourt E.
Il s'agit donc de la topologie engendrée par . On note cette topologie.

Tout ouvert des'écrit donc comme réunion d'intersections finies d'éléments de S.

Première question : Puisque tout ouvert de s'écrit comme réunion d'intervalles ouverts, peut-on dire que est la topologie engendrée par ?

Seconde question. Il est dit dans une démonstration la chose suivante. Soit un élément quelconque de (où est la boule unité de mais je ne pense pas que cela soit important pour ma question). Soit un ouvert de contenant . Alors il est dit et c'est la que je ne comprend pas : il existe un nombre fini dans E et tel que l'ensemble suivant tels que :

Mais justement :

Il me manque donc ce "" :mur: Je me doute bien qu'il vient du fait que mais je n'arrive pas à le montrer.

Merci.

[Doraki]

1) Non, il faut que tu remplaces les ]-;) ; ;)[ par tous les intervalles ouverts ]a ; b[ possibles.

2) O contient un voisinage ouvert de f0 de la forme intersection finie de exj-1(]aj ; bj[).
Evidemment, f0(xj) est dans ]aj ; bj[ et donc si tu prends ;) suffisemment petit, f0(xj)+]-;) ; ;)[ est inclus dans chaque ]aj ; bj[.
Donc O contient un voisinage ouvert de f0 de la forme intersection finie de exj-1(]f(x0)-;) ; f(x0)+;)[).

[Ben314]

Question 1) : non, il ne faut pas prendre uniquement les intervalles ]-e,e[ qui, très clairement n'engendre pas l'ensemble des ouverts de R (tu peut m'écrire ]1,2[ avec des ]-e,e[ ?)
Par contre, les ]-e,e[ forment un système fondamental de voisinage de 0, donc les avec X partie finie de E et forment un système fondamental de voisinage de 0 dans E'.

Question 2) Le problème est lié à l'erreur de la question 1) mais tu peut te ramener à ton truc du 1) en disant que O est un voisinage de fo ssi O-fo (translation) est un voisinage de 0 vu que les translations sont continues pour la topologie faible (très facile à vérifier)


EDIT : pas vu le post de doraki => redite complète...

[Trident]

Merci à vous deux ! :lol3: