Topologie (exercice interessant)

[newkroy]

coucou voila un autre exercice

soit f:R+---->R+ une application tq :
quelque soit alpha > o, f(alpha)>0, f(0)=0
et quelque soit (alpha),(béta) appartenant à R+: f(alpha+beta) <= f(alpha)+f(beta)

soit (E,d) un espace metrique,
on pose, d1=f(d(x,y)), quelque soit x,y appartenant à E

1-démotrer que d1 est une distance sur E ?

2-on suppose que f est continue sur alpha=0, et on considere que :
IdE:(E,d)--->(E,d1)
x--->x

a-demontrer que IdE et (IdE)^(-1) sont uniformément continue

b-en deduire que: (E,d1) complet implique (E,d) complet

3-on suppose l'existance du point "a" non isolé dans (E,d) et que d et d1 sont equivalente .
a-montrer l'existance d'une suite( (xn) n dans N ) des elements de E
tq 0 indifferent de d(xn,a) (quelque soit n dans N) et lim d(xn,a)=0 (n tend vers linfini)

b-en deduire que f continue au point zero.

fiouuuu j'ai pas vraiment tout capté j'espere que vous pouriez m'aider, encore une fois MERCI :)