Topologie, distances

[SamAz]

bonjour a tous.
Je me bloque sur une question de topologie qui a l'air plutot facile mais je n'arrive pas a repondre. jai essayé plusieurs choses et ca marche pas.
(E,d) est un espace metrique.
On definit d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))
il faut montrer que d' est une distance sur E.
je n'arrive pas a demontrer l'inegalité triangulaire pour d'.
merci

[jonses]

Bonjour,

On aimerait montrer que :
pour tous


Si on explicite , on aimerait donc avoir :


c'est-à-dire :


Autrement dit, on aimerait avoir :


Tout ce qu'il reste à faire est de vérifier qu'on a bien cette inégalité, tout en se rappelant que

[SamAz]

merci bcp. c'est en fait ca ce que j'ai fait mais je me suis arreté a la longue inegalité en croyant que je ne vais jamais aboutir au resultat demandé. il fallait donc juste faire un petit effort.

[Ben314]

Salut,
On peut effectivement se lancer dans des calculs pourris ou bien . . . prendre un peu de recul . . .
Ta distance d' elle s'écrit f(d) où f est la fonction x->x/(x+1).
Et pour montrer l'inégalité triangulaire pour d', sachant qu'elle est vraie pour d, il suffit de montrer que, si a<=b+c (réels positifs) alors f(a)<=f(b)+f (c).
Comme f est croissante, a<=b+c implique f(a)<=f (b+c) donc il suffit de montrer que f(b+c)<=f(b)+f(c).
Or f(b+c)-f (b)=c.f'(u) avec u entre b et b+c et f(c)=f(c)-f(0)=c.f'(v) avec v entre 0 et c donc, modulo d'avoir pris c<b pour garantir que v<u, le résultat découle de la décroissance de f'.