Topologie discrete

par **serge75** » 12 Avr 2007, 00:51

nuage : sur R |artctan(x)-arctan(y)| ; cela constitue une distance qui ne provient pas d'une norme. Néanmoins la topologie associée à cette distance est la topologie usuelle.
Par ailleurs la topologie discrète est métrisable en posant d(x,y)=1 si x et y sont distincts et d(x,x)=0.
Il est difficile de construire une topologie non métrisable en dehors de la topologie grossière (seuls le vide et E sont ouverts). La première qui me vienne à l'idée est la topologie de la convergence simple, mais elle est trés compliquée à construire.

par **nuage** » 12 Avr 2007, 01:22

merci, je vais y réfléchir.
A+

par **fahr451** » 12 Avr 2007, 05:54

de façon élémentaire dans le plan (ou ailleurs)

d(A,B) = 0 si A = B et 1 sinon

rem j'aurais du lire le post de serge75jusqu'au bout

par **serge75** » 12 Avr 2007, 11:19

fahr451 a écrit:rem j'aurais du lire le post de serge75jusqu'au bout

Tu m'en vois flatté !!! lol

par **mathelot** » 12 Avr 2007, 18:44

intuitivement, un produit infini non dénombrable d'espaces compacts donne un espace compact avec la topologie produit non métrisable ?

par **serge75** » 12 Avr 2007, 18:50

C'est vrai (même en topologie générale séparée), ça se démontre à la main par récurrence mais c'est pas trés facile, fo ruser.
Sinon, de façon plus générale, un produit quelconque de compacts est compact (théorème de Thikonov) mais il faut recourir pour cela à l'axiome du choix.

Topologie discrete

Qui est en ligne