Topologie discrète

[reda20]

Bonsoir tout le monde, pouvez vous m'aider à résoudre la question suivante : si (X,
) est un espace topologique infini je veux montrer que si toute partie infinie de X est ouvert alors est forcément la topologie discrète, merci.

[Ben314]

Salut,
Si X est infini, alors, quelque soit xo dans X, l'ensemble X\{xo} est infini donc contient un ensemble équipotent à N, et comme dans N les entiers pairs et les entiers impairs sont deux ensembles disjoints infinis, ça veut dire que qu'on peut trouver deux ensembles infinis A et B disjoints dans X\{xo}.
Les ensemble Au{xo} (*) et Bu{xo} sont infinis donc ouverts et leur intersection...

P.S. On peut éventuellement dire "qu'il est clair qu'un ensemble infini contient deux sous ensembles infinis disjoints", mais comme l'intuition et l'infini, ça fait mauvais ménage... ça mange pas de pain d'en proposer une preuve...

(*) Correction : c.f. post ci dessous.

[reda20]

mais en quoi vous avez montré que c'est une topologie discrète je ne pense pas que cela peut être la réponse

[Ben314]

... je ne pense pas que cela peut être la réponse

Comme quoi les avis divergent vu que.. je pense que si...

[reda20]

la question était de montrer que la topologie est discrète

[L.A.]

Bonsoir,

Salut,
Les ensemble A et Bu{xo} sont infinis donc ouverts et leur intersection...

Ne voulais-tu pas dire Au{x_0} et Bu{x_0} ?

[Ben314]

Ne voulais-tu pas dire Au{x_0} et Bu{x_0} ?

Si, effectivement.
Ca explique éventuellement que reda20 ait pas trouvé la fin de la preuve...

Je corrige.
En plus, en me relisant, je sais pas pourquoi je me suis fait c... à prendre A et B dans X\{xo} vu que doute façon je rajoute xo dans les deux à la fin...

[reda20]

ah maintenant j'ai compris mais pouvez vous m'expliquer d'où vient ça : "Si X est infini, alors, quelque soit xo dans X, l'ensemble X\{xo} est infini donc contient un ensemble équipotent à N, et comme dans N les entiers pairs et les entiers impairs sont deux ensembles disjoints infinis, ça veut dire que qu'on peut trouver deux ensembles infinis A et B disjoints dans X\{xo}." merci beaucoup.

[Ben314]

Ben ça ça vient... de ce qui est écrit...

Bref, je vois franchement pas à quel endroit c'est pas clair le truc en question.

(sans parler du fait que, perso., je sais même pas si j'aurais pas écrit directement que "on sait bien qu'un ensemble infini contient deux sous ensembles infinis disjoint" tellement le truc est classique)