Topologie : Densité

[Ncdk]

Bonsoir

Soit l'ensemble des suites avec ou 1. Pour et éléments de C on pose

1) Vérifier que d définit une distance sur C. FAIT
2) Soit l'ensemble des suites dont les termes sont nuls à partir d'un certain indice. Prouver que D est dense dans C
3) Montrer que C n'a pas de point isolé.

Je voulais faire pour la 2), essayer de prouver que D est un fermé mais je n'ai aucun idée de comment le faire, une fois que cet ensemble est fermé, je pense que vu qu'on doit prouver que D est dense dans C alors l'adhérence de D c'est C.

Mais je ne vois pas comment partir, ni même comment aboutir sur le fait que la fermeture de D c'est C.

[Jouailleur]

Plus simplement, considère un élément de et pose avec si et à partir du rang .

Par définition, .

Calcule alors puis majore cette quantité. Que se passe-t-il lorsque l'on fait tendre vers ? Conclus.

Bonsoir

Soit l'ensemble des suites avec ou 1. Pour et éléments de C on pose

1) Vérifier que d définit une distance sur C. FAIT
2) Soit l'ensemble des suites dont les termes sont nuls à partir d'un certain indice. Prouver que D est dense dans C
3) Montrer que C n'a pas de point isolé.

Je voulais faire pour la 2), essayer de prouver que D est un fermé mais je n'ai aucun idée de comment le faire, une fois que cet ensemble est fermé, je pense que vu qu'on doit prouver que D est dense dans C alors l'adhérence de D c'est C.

Mais je ne vois pas comment partir, ni même comment aboutir sur le fait que la fermeture de D c'est C.

[Ncdk]

Calcule alors puis majore cette quantité. Que se passe-t-il lorsque l'on fait tendre vers ? Conclus.

J'ai un peu de mal, je vais déjà voir si je pars de la bonne somme :



Sauf que cette somme, on obtient un facteur Donc du coup la somme vaut

Je sais pas si je suis partit de la bonne somme pour pouvoir majorer comme tu me l'as demandé, ou je devais partir de la somme initiale puis la scindé en deux blocs donc ce qui se passe pour nN

[Jouailleur]

J'ai un peu de mal, je vais déjà voir si je pars de la bonne somme :



Sauf que cette somme, on obtient un facteur Donc du coup la somme vaut

Je sais pas si je suis partit de la bonne somme pour pouvoir majorer comme tu me l'as demandé, ou je devais partir de la somme initiale puis la scindé en deux blocs donc ce qui se passe pour nN

Attention, tu n'appliques pas la définition de la distance correctement ! Un terme (et non ) doit apparaître dans la somme indicée par (et non )...

Tu dois ensuite simplement remarquer que par définition de :



C'est cette quantité que tu majoreras facilement en notant que ne prend que les valeurs 0 ou 1.