Topologie-convexe

[zorg]

Dans un evn, montrer que l'intérieur d'un convexe est convexe.

Je bloque sur cet exo. (Pour l'adhérence ça me semble clair en utilisant la caractérisation séquentielle d'un point adhérent)

Merci de me donner une indication mais pas toute la réponse !

Zorg

[El_Gato]

Peut-être peut-on raisonner par l'absurde et utiliser le fait qu'un segment [a,b] dans un convexe est l'image d'une fonction continue.

Je dis ça comme ça j'ai pas vérifié les détails.

[quinto]

Salut,
l'idée qui me vient en tête est un raisonnement par l'absurde, en disant que s'il n'est pas convexe, tu peux trouver 2 points a et b tels que [a,b] ne soit pas dans ton ensemble (mettons K).

Dans un evn, c'est clair que si K est convexe, toute dilatation le laisse convexe(*) (à vérifier). Notamment notons d le min de la distance entre a et la frontière de K et b et la frontière de K.
Je prend d'=d/3 et je pose K'=l'ensemble des x dans K tels que d(x,frontiere K) < d'
K' est convexe d'après (*) et a et b y sont inclus (on a tout fait pour).
Ainsi, [a,b] est inclus dans K' qui est trivialement inclus dans l'intérieur de K. Contradiction.
Je pense que mon raisonnement ne contient pas d'erreur, mais il faudrait mettre tout ca au propre pour être sur.
a+