Topologie et continuité

[Ncdk]

Bonsoir,

Soit un espace topologique et A une partie de X.
Soit une topologie sur A.

Soit une application
Montrer que si f est continue, alors est continue

Pour être honnête, l'exercice a l'air pas difficile, en appliquant une définition ça doit être ok, mais le soucis est que je ne comprends pas comment bien poser les choses.

Voila mon début de réponse :

Soit V un ouvert de . Mon but est de montrer que est dans

Ayant très peu bossé sur la restriction d'une fonction, j'ai cherché une définition sur internet, j'ai essayé déjà de voir ce que c'était la fonction
Je voulais savoir si c'était bien cette application : avec B un élément de l'espace topologique on lui associe

Est-ce que déjà c'est ça ou pas, sinon j'ai pas compris ce que c'était la restriction en fait

Merci de votre aide

[Doraki]

Soit une topologie sur A.

Non là tu ne dois pas dire "Soit ... une topologie sur A" (ça sous-entend que ça peut être n'importe quelle topologie) puisque ici c'est pas du tout une topologie au hasard mais une topologie bien spécifique, à savoir "LA topologie sur A induite par celle sur X".

A part ça, oui, f|A est bien l'application qui à un x dans A associe f(x) dans Y (et f(x) a un sens et est dans Y parce que x est aussi dans X et que f est une application de X dans Y)

[Ncdk]

Très bien, bon déjà je suis bien partit, maintenant je voulais aussi voir ce que c'était



Maintenant, étrangement, je n'arrive pas à trouver qui est cet ensemble, il y a une méthode pour trouver rapidement, ça me parait pas si évident en fait. (J'ai la correction de l'exercice, mais comme la réponse ne me parait pas du tout évidente, c'est pour ça que je pose tout pour pas m’emmêler les pinceaux)

PS : On est d'accord que est une topologie sur A ? (Qui s'avère être la topologie induite par sur A). C'est pour ça que je vois pas pourquoi ce que j'ai dit est pas correct

[Doraki]

Non ce n'est pas ça.

Par définition de l'image inverse, si V est une partie de Y,
f|A-1(V) = {x dans A tels que f|A(x) est dans V}
Par définition de f|A, ça donne {x dans A tels que f(x) est dans V}

f|A-1(V) est une partie de A et pas une partie de parties de A comme t'as écrit.
D'ailleurs si B est un ouvert de A (un élément de τA), f(B) (image directe par f de B ; et pas f appliqué à B)
est une partie de Y et donc ne peut pas en général être un élément de V

[zygomatique]

salut

ce n'est pas une mais la topologie (induite par celle de X)

la restriction de f à A est tout simplement la fonction g définie sur A telle que pour tout x dans A g(x) = f(x)



soit a un élément de A et b son image (donc g(a) = f(a) = b)

or a est un élément de X et f est continue sur X donc pour tout ouvert V de b il existe un ouvert U de a (dans X) tel que

que peut-on dire de ?

[Ncdk]

Ah d'accord, on peut pas être plus précis, en disant que est équivalent à ?

Du coup notre ensemble c'est l'intersection de A avec .
V étant un ouvert f continue, alors est un ouvert de , donc . Ce qui montre que est continue.