Topologie: Bolzano-Weierstrass

[BeeZ]

Bonsoir,

Je travaille en ce moment sur un exercice qui a pour but final de démontrer le célèbre théorème de Bolzano-Weierstrass: soit l'équivalence entre les deux propositions suivantes sachant que (X,d) est un métrique et K un sous ensemble de X:

(a) K est compact;
(b) de toute suite de points de K, on peut extraire une sous-suite convergente dans K ou toute suite de points de K a une valeur d'adhérence dans K.

L'une des questions qui me posent soucis est la suivante:

Pour (a) => (b)

Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes:
(i) x est une valeur d'adhérence de {x[sub]n[/sub]}[sub]n[/sub];
(ii) x appartient à l'intersection (k appartenant à N) {x[sub]i[/sub] : i > k} barre;
(iii) quelque soit k appartenant à N quelque rho >0 il existe i > k x[sub]i[/sub] appartenant B[sub]rho[/sub](x)

J'ai réussi à montrer (i) (iii), mais je ne sais pas comment rédiger (i) => (ii)

Je sais comment montrer que Adh(X) est inclus dans l'intersection (k appartenant à N) {x[sub]i[/sub] : i > k} barre; mais je n'arrive à montre l'autre inclusion.

Je m'excuse pour la mauvaise mise en page, je suis nouvelle sur le site, et je vous remercie de l'attention que vous avez pu accorder à mon message.

[MouLou]

?

donc si A est l'ensemble des va, tu veux montrer que .

Tu dis donc que l'inclusion de gauche à droite c'est bon, et te manque l'inclusion de droite a gauche?

si a est dans .

Comment écrits tu qu'il est dans la grande intersection, et comment écris tu qu'il est dans l'adhérence des chacun de ces ensembles?

[MouLou]

Par contre je comprends pas le (iii), c'est quoi ?

[Ben314]

A mon avis, son "B[sub]rho[/sub](x)", c'est la boule ouverte de centre x et de rayon rho.
Donc le iii), c'est :

[MouLou]

Oui effectivement ca colle bien.

[BeeZ]

Merci de vos réponses et de l'attention que vous avez pu accorder à mes questions.