Toplogie

[rollin]

Bonjour!!
Voila j'ai un exercice à faire où je bloque sur la première question(et meme les autres...); je dois montrer que A={x de X, f(x)=f(a)} ,avec a dans X ,est un ouvert fermé non vide de X ?!
(Dans mon énonce on dit qu'une application f: (X,d)----> (Y,e) est dite localement constante si pour tout x de X il existe une boule B(x,r) telle que f (restreint de la boule)=Constante.)
Je ne sais pas si je fais ça à l'aide des boules ou avec des suites??

merci de votre éventuelle aide!

[quinto]

Bonjour,
si f est localement constante alors f est continue et donc A est trivialement fermé.

De plus, par définition d'être localement constante, A est trivialement ouvert en revenant à la définition avec les boules.

[rollin]

Tu as une définition précise d'une fonction localement constante stp?? Parce qu'avec ma définition c me semble pas trivial ..

[quinto]

J'utilise la définition que tu donnes et c'est justement trivial en utilisant cette définition, non ?

[quinto]

Soit y un point de A, peut on trouver une boule autour de y qui soit incluse dans A?

[rollin]

Oui car f est localement constante non?

[quinto]

Donc A est ouvert, non ?

[rollin]

Oui Oui je suis daccord pour ça mais pour le fermé j'ai pas vu comment t'as fait

[quinto]

f est continue n'est ce pas ?
Dans ce cas, A est l'image réciproque d'un fermé par une application continue et donc est trivialement fermé.

[rollin]

Ah oui effectivement je te remercie mais tu m'as dit qu'une fonction localement constante était continue mais c'est dans tous les cas?

[quinto]

Oui, on te l'a même prouvé sur un autre forum ...