F(x+y)=f(x)*f(y)

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
wilfriedd
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f(x+y)=f(x)*f(y)

par wilfriedd » 05 Mai 2009, 13:30

Bonjour à tous, j'espère que cette question suscitera plus d'intérêt que la précédente.
En fait, je suis en préparation au CAPES, et en ce moment je prépare la lecon 73 et je suis en train de lire une démonstration sur internet mais j'ai un soucis, et je pense qu'il vient de moi puisque sur 2 leçons différents j'ai trouveé la même démonstration alors à moin que l'une soit copie de l'autre, ça serait bizard qu'il fasse tout les 2 la même erreure.
Voici la démonstration en question (que vous pourrez trouver sur le site http://jaimelesmaths.site.voila.fr/ leçon 73 page 3 démonstration du théorème 2 pour plus de clareté)

Démonstration : De la continuité de f en a en on déduit la continuité de f sur R tout entier par le théorème précédent.
On peut alors affirmer que f admet une primitive F sur R, on peut alors écrire que :
intégrale de 0 à x de f(t + y) dt =intégrale de 0 à x de f(t) f(y) dt
= f(y)*intégrale de 0 à x de f(t) dt = f(y) F(x).
La suite m'importe peu, mon problème est: ne serait-il pas plus juste d'écrire
=f(y)*(F(x)-F(0))?
Pour que vous puissiez comprendre je ne vois pas meilleur solution que de regarder sur le site.
Merci d'avance de m'expliquer pourquoi F(0)=0 si c'est le cas ou tout simplement de répondre à mon problème



Cheche
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par Cheche » 05 Mai 2009, 13:47

Salut,

Généralement quand tu fais intervenir dans une intégrale une primitive, tu as deux solutions :

- La première :

Je prends F une primitive de f sur R
Alors le résultat devient : f(y)* (F(x)-F(0))

- La deuxième :

Je prends F la primitive de f sur R s'annulant en 0
Alors le résultat devient : f(y) * F(x)


Je pense que le problème vient simplement de là.

uztop
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par uztop » 05 Mai 2009, 14:07

Salut,

oui, il considere la primitive qui s'annule en 0.
Si ce n'est pas le cas, il suffit de remplacer F(x) par F(x)-F(0) et donc a la fin F(1) par F(1)-F(0) mais ca ne change rien a ce qu'on veut montrer (que f est derivable)

Question, pour la lecon precedente, comment est ce que tu as defini l'exponentielle ? Le programme semble dire que c'est la seule fonction telle que f'=f et f(0)=1; j'ai prepare la lecon comme ca (je vais la mettre en ligne quand je l'aurai tapee en latex) mais ca ne correspond pas tellement a ce qu'on trouve sur internet.

wilfriedd
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par wilfriedd » 05 Mai 2009, 14:42

Tout d'abord merci pour vos réponse, c'était tout bête finallement.
Merci beaucoup.
Pour la leçon précédente, j'imagine que tu veux dire la leçon 71. J'ai fait comme ce qu'on trouve sur internet, j'ai supposé la fonction logarithme connue (c'est à dire la leçon 70) et j'ai définie la fonction exponentielle (de base a) comme la réciproque bijective de la fonction logarithme (de base a).
Je m'était aussi posé la question et on m'a dit qu'en terminal S on voyait d'abord la fonction exponentielle comme solution de y'=y et y(0)=1 mais la démonstration de l'existance d'une solution de l'équation différentielle me semblait compliquée, donc on m'a dit qu'en terminal ES on voyait d'abord ln puis exponentielle comme la fonction réciproque de ln, c'est pourquoi j'ai préféré faire comme ça.
Tu la mettra où en ligne ta leçon?
Bon courage et encore merci

uztop
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par uztop » 05 Mai 2009, 14:51

oui pardon, je voulais dire la lecon 71.
En fait, j'ai regarde le programme officiel et ils disent d'introduire l'exponentielle avec l'equation differentielle: ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2001/hs4/maths2.pdf
Comme tu peux le voir, l'exitance de la solution est admise, on ne montre que l'unicite.
En fait, je me dis que ce genre de lecons peut etre "dangereux" dans le sens ou si on presente quelque chose qui ne correspond pas a ce qu'attend le jury, on risque d'avoir une tres mauvaise note.
Je vais la mettre en ligne sur ce site; en fait j'aurais aime qu'on puisse avoir sur le forum des liens vers les principaux cours de lycee, mais comme je travaille en meme temps, je n'ai jamais le temps ...

wilfriedd
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par wilfriedd » 05 Mai 2009, 15:33

J'ai une autre question à posé, je ne comprends pas (toujours en regardant sur le lien que je vous ai donné) la différence entre le théorème 3 et le théorème 4

Théorème 3 : Soit f de R dans R non identiquement nulle, continue en un point b et telle que :
Pour tous (x,y) de R² f(x + y) = f(x) × f(y)
Alors il existe un réel a > 0 tel que f(x) = a^x.

Théorème 4 : Les seules fonctions continues sur R, non identiquement nulles qui sont solution de l’équation
fonctionnelle sont les fonctions exponentielles.

Merci à ceux qui m'expliqueront

uztop
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par uztop » 05 Mai 2009, 15:42

le theoreme 3 dit que les fonctions exponentielles sont solution de l'equation fonctionnelle; le theoreme 4 dit que ce sont les seules.

Du coup, le theoreme 3 n'est pas tres utile vu qu'il est inclus dans le 4.

wilfriedd
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par wilfriedd » 05 Mai 2009, 15:56

Tu es sûr?
Parce que j'avais l'impression que le théorème 3 en le reformulant ça donne exactement le théorème 4 puisque si f vérifie l'équation fonctionnelle on a vu qu'alors si elle était continue en un point elle l'était sur R donc le théorème 3 dit si f est continue non nulle et vérifie l'équation fonctionnelle alors il existe a tel que f(x)=a^x or ça si je ne me trompe, c'est la définition des fonctions exponentielles non?

uztop
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par uztop » 05 Mai 2009, 16:02

oups, tu as raison !
Voila ce qui se passe en faisant deux choses en meme temps, je vais regarder ce soir.

wilfriedd
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par wilfriedd » 05 Mai 2009, 17:26

Merci beaucoup.
A ce soir alors.

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mathelot
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par mathelot » 05 Mai 2009, 18:54

Bonjour,

grosso modo, en posant y=h (petit accroissement de la variable)
la formule fonctionnelle et f(0)=1

montrent que si f est continue en x=0, elle est continue sur R tout entier.


Une fois obtenue la continuité, on peut primitiver et/ou intégrer:

intégrer f, c'est considérer la fonction

(on utilise l'invariance de la mesure dt par translation)

primitiver f, c'est considérer une fonction F telle que
F'=f

uztop
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par uztop » 05 Mai 2009, 21:12

effectivement, j'ai bien du mal à voir la différence entre les deux théorèmes ...
Le 3 parle de continuité en un point seulement mais on voit dès le début de la démo que c'est équivalent à être dérivable (et donc continu) sur R.
Donc, si quelqu'un a une idée ...

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