M2(r)

[mehdi-128]

Bonsoir,je bloque sur l'exercice suivant: (a,b) appartenant a R.

Montrer que E ensemble des M(a,b) ou:
M(a,b)=
a -b est un sous anneau et un sous espace de M2(R).Qu'elle est sa
b a

dimension?. On définit f:C->M2(R) par:f(a+ib)=M(a,b)
Montrer que f est un isomorphisme d'espaces vectoriels.Est ce un isomorphisme d'anneau?

En fait j'ai seulement réussi sous espace vectoriel(non vide ,stable).La dimension je dirai 2.Mais j'ai des difficultés avec les notions d'anneaux ....
merci....

[fahr451]

E = {aI +bJ avec a,b dans R} = Vect (I,J)

où I est la matrice unité et J =[(0,-1) ,(1,0) ] en ligne
donc E est un sev de M2(R) de dim 2 car (I,J) libre

sous anneau
-si contient le neutre oui c'est I
- si stable par + ok car sev
- si stable par . multiplication matricielle

suffit de vérifier que les produits de vecteurs de la base sont dans E

I.I , I.J , J.I , J^2 ?

[sue]

Bonsoir,

E = {aI +bJ avec a,b dans R} = Vect (I,J)

où I est la matrice unité et J =[(0,-1) ,(1,0) ] en ligne
donc E est un sev de M2(R) de dim 2 car (I,J) libre

c'est vrai ça ? faut juste montrer que E admet une base pour en déduire que c'est un ev ?

[mehdi-128]

Ah ok merci....
Je vois pas la différence entre isomorphisme d'anneau et d'espace vectoriel......

[fahr451]

j'essaye le plus souvent d'écrire des choses vraies

ta question n'a pas de sens puisque seul un ev est suceptible d'avoir une base (au sens de l algèbre linéaire)

en fait

si E inclus dans F ev
et si E = Vect ( d'une famille U de vecteurs)= { cbl des vecteurs de la famille U}c'est un sev et admet la famille U pour famille génératrice

[fahr451]

isomorphisme = bijection qui conserve la structure

iso d 'ev = bijection linéaire

iso d'anneaux = bijection avec f(1) = 1 et morphisme pour les lois + et .(multiplication interne)

[sue]

j'essaye le plus souvent d'écrire des choses vraies

excuse moi , je ne voulais pas dire ça biensûr .

en tout cas je disais du n'importe quoi désolée
demain j'aurai mes épreuves du Bac et ça me rassure déjà :mur:

mieux d'aller se coucher..

[fahr451]

"le sommeil est une arme " (jason bourne philosophe du XX)

[mehdi-128]

Ah d'accord merci...