A\(B U C) = (A\B)\C

[coc0]

Bonjour,

En faisant un exercice, je me demandais si ma démonstration était juste( car elle me paraît non complète). En effet, je ne fais pas la même chose que dans le corrigé. Ainsi, je me permets de poster ma démonstration en attendant vos retours.

-----
Je dois montrer que : A\(B U C) = (A\B)\C
ce que j'ai fais:


Soit x un élément tel que : x (A\B)\C
x (A\B)\C <=> xA, xC et xB

Soit x' un élément tel que: x'A\(B UC)

x'A\(B UC) <=> x'A, x'C et x'B



Ainsi: x (A\B)\C<=> xA\(B UC)

Donc : (A\B)\C=A\(B UC)

-----

Voilà, voilà

En attendant vos retours,

Merci d'avance

coc0

[pascal16]

Rien ne sert de faire compliqué, c'est suffisant.
reste le cas où un des deux est vide, l'autre doit l'être aussi

[beagle]

salut c'est quoi in?

[hdci]

Je pense que , c'est \in avec l'oubli du \ qui du coup n'est pas traduit par en tex.

Sinon pour la démo c'est correct. Comme c'est géré par équivalence, il n'y a même pas besoin d'examiner le cas de l'ensemble vide (sauf pour la première phrase "soit " qui suppose que l'ensemble est non vide.
Donc en retirant cette phrase, cela donne


Phrase correcte même si l'un des ensembles est vide.

[coc0]

Superbe!

Merci pour vos réponses

oui, pardon, je voulais écrire \in.

Merci encore^^
coc0

[aviateur]

Soit x' un élément tel que: x'A\(B UC)

A, x'C et x'B

J'ai des questions à poser à @coco concernant la rigueur de la démonstration:
qu'est ce qui est équivalent à ?
ou bien
[ et
D'autre part comment faut-il lire cette dernière assertion? En particulier qu'elle est la signification de la virgule?
Finalement, le lecteur attentif remarquera que l'affirmation de cette équivalence semble un peu rapide vu le contexte de la question et la façon dont est rédigé l'ensemble.

[beagle]

bah tout dépend si l'objectif c'est de partir du cours, genre:
"La négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A et B) » est identique à « (non A) ou (non B) ».

La négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A ou B) » est identique à « (non A) et (non B) ».

et on veut voir des trucs comme ça dans la rédaction ...

ou alors si on regarde juste les patates et là les trucs disent bien je veux du A qui n'est pas B et qui n'est pas C,
ils le disent à leur manière, juste la séquence n'est pas la même.

Donc quand on est prof et qu'on veut des réponses qui sont en relation avec du cours,
comment on rédige pour que justement le gars te dise pas,
ben A sans B et sans C quoi!

[aviateur]

Bonjour
Oui et non: il y a bien des patates, là je suis d'accord. Mais simplement elles ne sont pas très bonnes. Ce n'est pas le point de vue d'un prof mais plutôt d'un mathématicien.
On devine que la démonstration qu'il a vu c'est surement utiliser la définition de

Pour le rassurer on peut lui dire que l'idée de sa démonstration est bonne, mais, par contre, le laisser partir avec une telle rédaction ça laisse à désirer.

[beagle]

Pour le B union C :
x n'appartient pas à B ou C est x n'appartient pas a B et x n'appartient pas à C

Pour le (A\B)\C
n'appartient pas à C, puis n'appartient pas à B

un peu de décoration issu du cours et cela le fait
manque quelques lignes

[coc0]

Bonjour,

Désolé de n'avoir pas vue ces messages plutôt.

De même, merci l'aviateur et beagle d'y avoir prêté attention.

En effet, je trouve que ma démonstration laisse à désirer(car trop d'intuition à mon goût).

Soit x' un élément tel que: x'A\(B UC)

A, x'C et x'B

J'ai des questions à poser à @coco concernant la rigueur de la démonstration:
qu'est ce qui est équivalent à ?
ou bien
[ et
D'autre part comment faut-il lire cette dernière assertion? En particulier qu'elle est la signification de la virgule?
Finalement, le lecteur attentif remarquera que l'affirmation de cette équivalence semble un peu rapide vu le contexte de la question et la façon dont est rédigé l'ensemble.

Je souhaitais dire que:

De plus, j'ai introduit x' (et pas introduit deux fois x) car je pars de l'hypothèse que je ne sais pas que
(A\(BUC) = (A\B)\C.
Si j'aurais écrit: <=>... et ...
(en gros deux fois x ), je trouve que que l'on considère de base que (A\(BUC) = (A\B)\C.

En revanche, x' me chiffonne après. En effet, bien qu’extrêmement intuitif, quand j'arrive à: . j'enlève x' sans justification et c'est cela qui me dérange un peu.

bah tout dépend si l'objectif c'est de partir du cours, genre:
"La négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A et B) » est identique à « (non A) ou (non B) ».

La négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A ou B) » est identique à « (non A) et (non B) ».

et on veut voir des trucs comme ça dans la rédaction ...

ou alors si on regarde juste les patates et là les trucs disent bien je veux du A qui n'est pas B et qui n'est pas C,
ils le disent à leur manière, juste la séquence n'est pas la même.

Donc quand on est prof et qu'on veut des réponses qui sont en relation avec du cours,
comment on rédige pour que justement le gars te dise pas,
ben A sans B et sans C quoi!

En effet, je sais que je peux faire :.

Mais, en faisant l'exercice, j'ai trouvé intéressant de faire par des ''patates''

Bonjour
Oui et non: il y a bien des patates, là je suis d'accord. Mais simplement elles ne sont pas très bonnes. Ce n'est pas le point de vue d'un prof mais plutôt d'un mathématicien.
On devine que la démonstration qu'il a vu c'est surement utiliser la définition de

Pour le rassurer on peut lui dire que l'idée de sa démonstration est bonne, mais, par contre, le laisser partir avec une telle rédaction ça laisse à désirer.

Pour le B union C :
x n'appartient pas à B ou C est x n'appartient pas a B et x n'appartient pas à C

Pour le (A\B)\C
n'appartient pas à C, puis n'appartient pas à B

un peu de décoration issu du cours et cela le fait
manque quelques lignes

Si je puis me permettre, comment auriez vous rédigé, avec la même idée, cette démonstration.

Merci

coc0

[beagle]

bonjour cocO, je laisse les autres répondre,
car je ne connais pas les vraies définitions,
et ne suis pas au niveau pour rédiger correctement.

Pour moi, et vu de loin je vois ça ( A\B), comme on prend A qui n'est pas B
donc pour moi , comme tu l'as fait
x appartient à A et x n'appartient pas à B

ensuite j'aurais mis des trucs sur n'appartient pas à l'union de B et C, , c'est n'appartient pas B et n'appartient pas à C...
des petites fioritures du genre

parce que en te lisant on se dit il vient juste nous dire on veut A mais pas B et C dans les deux cas, sans nous dire pourquoi.
ceci étant pour moi c'est ok pour un tel "petit" niveau d'organisation, ben oui quoi on veut A sans B et C que cela soit séquentiel ou non.

Bon, belle rédaction à voir par les copains.Perso je suis encore au collège!

[beagle]

mais mettre x et x' alors là franchement je ne vois pas ce que cela apporte.

pour la virgule qui embète aviateur, pourquoi pas du "et"

[coc0]

Merci beagle

[coc0]

si je dis que:
Soit x un élément(quelconque) tel que :


et que



alors

or je pars sans le savoir

[beagle]

si je dis que:
Soit x un élément(quelconque) tel que :


et que



alors

j'aimais mieux ton équivalence,
parce que là on ne sait pas si tous les x de l'un sont tous les x de l'autre,
là va falloir faire de la double inclusion et mettre des quantificateurs.

si tu arrives à la meme équivalence comme initialement c'est bien
x appartient A et n'appartient pas B, n'appartient pas C alors perso je ne verrais rien à redire
Moi ce que je voyais c'est qu'il manque juste une ligne à chaque point de départ pour tomber sur ce truc
ctte ligne reprentant la sequence qui permet d'y arriver,
on arrive au même endroit,
mais l'un enlève d'un bloc , l'union B et C,
l'autre enlève B, puis enlève C

[hdci]

De plus, j'ai introduit x' (et pas introduit deux fois x) car je pars de l'hypothèse que je ne sais pas que
(A\(BUC) = (A\B)\C.
Si j'aurais écrit: <=>... et ...
(en gros deux fois x ), je trouve que que l'on considère de base que (A\(BUC) = (A\B)\C.

En revanche, x' me chiffonne après. En effet, bien qu’extrêmement intuitif, quand j'arrive à: . j'enlève x' sans justification et c'est cela qui me dérange un peu.

Le noms qu'on donne aux variables sont des "lettres muettes : si un même nom ne peut désigner deux choses différentes, deux nos différents peuvent désigner la même chose.

Ainsi, en dehors de tout autre contexte, dire est strictement identique à

C'est là qu'on introduit les quantificateurs. LA proposition précédente devrait s'écrire formellement


Ecrit comme cela, la portée de x' (c'est-à-dire, la partie de la proposition où x' est bien défini) est exactement ce qu'il y a entre les deux parenthèses.
Ce qui fait que


est strictement équivalent à



Ou encore

Pour le B union C :
x n'appartient pas à B ou C est x n'appartient pas a B et x n'appartient pas à C

Pour le (A\B)\C
n'appartient pas à C, puis n'appartient pas à B

un peu de décoration issu du cours et cela le fait
manque quelques lignes

Si je puis me permettre, comment auriez vous rédigé, avec la même idée, cette démonstration.

beagle pourra préciser sa pensée, mais en fonction de ce qui précède, voilà comment j'aurai rédigé "proprement" :

• est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et qui n'appartiennent pas à , donc qui n'appartiennent ni à B, bi à C :
  
• ( est l'ensemble de tous les éléments de A qui n'appartiennent pas à B, et qui n'appartiennent pas à C :
  
• L'opérateur "et" est associatif donc
  
  
• Ce qui montre que d'où le résultat
  
  

[beagle]

"beagle pourra préciser sa pensée":
beagle aurait copié sur hdci,
j'aurais juste changé quelques mots et ajouter deux fautes d'orthographe personnelles pour que cela ne se voit pas!

[coc0]

superbe merci hdci