[optimisation sous contraintes, non lineaire]

[ghghgh]

Bonjour,

Je cherche a resoudre un probleme du type :



Je dois admettre que pour l'instant je le resous betement avec matlab a l'aide de la fonction qui va bien, mais... cela me prend trop de temps (pas plus de quelques secondes, mais je dois le faire des milliards de fois

[ en application, pour traiter mon image ou par pixel je dois resoudre une dizaine de pbs de ce type, ca me prend 28h actuellement ]

J'ai cru remarquer qu'une (la ?) solution etait souvent aux bords ? Est-ce toujours le cas pour une raison theorique ?

Pour l'instant, j'ai essaye de faire le changement de variable x = 1/d et y = 1/d', puis de resoudre le systeme des derivees partielles, mais les contraintes ne definissent pas un ouvert, comment fait-on dans ce cas ?

Est-ce qu'il suffit d'etudier et de comparer la valeur au point solution du systeme et des valeurs aux bords ?

Je suis un peu dans le flou...

Merci d'avance de toute aide,

[Dlzlogic]

Bonjour,
Malheureusement votre fonction n'est pas lisible.
Comme je ne connais pas le latex, je ne peux pas traduire;

[spike0789]

[Sylviel]

Salut,

en fait si tu regardes bien tu as une fonction quadratique en (1/d, 1.d'). Tu dois donc pouvoir en déterminer analytiquement le minimum global. Si le minimum global ne vérifie pas tes contraintes (s'il les vérifie tu as terminé) il t'indique les 2 bords où chercher le minimum (rebelote : fonction quadratique, d'une seule variable cette fois, dont tu peux déterminer analytiquement le minimum).

[ghghgh]

Merci de ta reponse, mais je n'ai pas abouti.

Voici mes calculs :

Je pose et .

Je souhaite donc minimiser :



Je tente ensuite de resoudre le systeme donne par les derivees partielles :




J'en deduis :



et



et donc , Y = 0, mais ca c'est impossible, ou K = 1, et donc n'importe quel Y conviendrait... ?

Merci encore pour votre aide

[JeanJ]

Il est évident que si on ne tient pas compte des conditions limitant le domaine de X et Y, le minimum est trivial : X=Y=0 qui donne un minimum absolu égal à 0.
Il faut donc faire intervenir les conditions :
X0Le plus simple sera de faire successivement le calcul dans quatre cas :
Cas1: X=X0
Calculer la valeur de Y pour le minimum de (AX0-BY)²+(CX0-DY)²+(EX0-FY)²=f(Y) , ce qui est aisé (fonction parabolique)
Si cette valeur de Y satisfait Y0Si non, le minimum relatif au cas 1 est (AX0-BY0)²+(CX0-DY0)²+(EX0-FY0)² ou est (AX0-BY1)²+(CX0-DY1)²+(EX0-FY1)², ce qui se vérifie aisément.
Cas 2: X=X1
à traiter de la même façon que le cas 1 avec X1 au lieu de X0.
Cas 3: Y=Y0
Chercher la valeur de X pour le minimum de (AX-BY0)²+(CX-DY0)²+(EX-FY0)²=f(X)
Si cette valeur de X satisfait X0Si non, le minimum relatif au cas 3 est (AX0-BY0)²+(CX0-DY0)²+(EX0-FY0)² ou est (AX1-BY0)²+(CX1-DY0)²+(EX1-FY0)²
Cas 4: Y=Y1
à traiter de la même façon que le cas 3 avec Y1 au lieu de Y0.
Finalement, le résultat minimum est le plus petit parmi les quatre minimum précédents.

[ghghgh]

Merci de cette reponse limpide et detaillee, JeanJ

[ghghgh]

Bonjour,

je reviens avec la "meme" question, pour une fonction legerement modifiee...

je cherche maintenant a miniser :



J'aimerais maintenant savoir si la reponse de JeanJ (etudier les 4 cas, et les sous-cas) est toujours valable en ajoutant la nouvelle constante : (AX0-BY)²+(CX0-DY)²+(EX0-FY)²=f(Y) deviendrait (AX0-BY + c1)²+(CX0-DY + c2)²+(EX0-FY + c3)²=f(Y) ?

Merci enormement pour votre aide

[deltab]

Bonjour

@ghghgh

Essaies de passer à la forme canonique de la forme quadratique , l'étude se trouvera peut-être simplifiée (et réduis en premier le nombre de paramètres (3 au lieu de 6), à toi de voir ce qu'il faut faire pour ça).
Remarques:
Si et restent des paramètres, il y aura toute une très longue étude à faire.