X^x

[chulzi]

est-ce que quelqu'un peut me confirmer ce qui suit?

le domaine de définition de X^X = x si x appartient à R*+.
p/q <0 tel que p^q=1 et q= 2n+1.



est qu'elle la dérivé de la fonction précédente. avec preuve si possible.

[yos]

C'est vrai et puisque les rationnels négatifs p/q avec q impair sont denses dans }-oo,O], on peut prolonger par continuité la fonction x^x à R.

[memphisto]

c'est bien de la fonction dont vous parlez?
Parce qu'il me semble que cette fonction n'est pas définie sur les réels négatifs:
, qui n'est définie que pour les réels positifs.
Cependant elle se prolonge par continuité en 0 par la valeur 1, qui est la limite en 0 de .

[Pythales]

Dérivée :

[yos]

c'est bien de la fonction dont vous parlez?
Parce qu'il me semble que cette fonction n'est pas définie sur les réels négatifs:
, qui n'est définie que pour les réels positifs.
Cependant elle se prolonge par continuité en 0 par la valeur 1, qui est la limite en 0 de .

Allons allons!
Tu as le droit de faire
Car une racine (2n+1)ème est définie sur R.

[Nicolas_75]

On a le droit d'écrire uniquement car on a une fraction négative à dénominateur impair en exposant (voir ci-dessous).

En revanche, on ne peut pas écrire (EDIT)

Selon moi :
peut se définir :
- si est irrationnel ou rationnel avec et premiers entre eux et pair, uniquement sur , par
- si est rationnel avec et premiers entre eux et impair, sur , par

Donc n'est pas définie sur tout

Sauf si on l'autorise à prendre des valeurs complexes. (EDIT)

Sauf erreur.

Nicolas

[yos]

Comme je le disais dans mon premier message, x^x a un sens pour x rationnel négatif avec dénominateur impair. Ensuite tu peux utiliser la densité de ces rationnels dans R- pour obtenir un prolongement de x^x à R.

[Nicolas_75]

A condition que, si , avec suite de rationnels à dénominateur impair une fois simplifiés (EDIT), alors admette une limite.
Cela ne me parait pas évident...

[Nicolas_75]

Par exemple, on sait que :

Soit
La suite est une suite de rationnels tendant vers l'irrationnel .
On conjecture que tous ses dénominateurs (après simplification) sont impairs.
Donc on pourrait utiliser pour définir
Or :

=> numérateur pair
=> numérateur impair
=> numérateur pair
=> numérateur impair
=> numérateur pair
=> numérateur impair

On conjecture que cette alternance de parité du numérateur continue ainsi à l'infini.

Dans ce cas prend alternativement les valeurs -1 et +1, et ne converge pas.

Nicolas

[yos]

Je dis qu'on peut donner un sens naturel à x^x pour x réel<0.
Par contre définir x^y, pour y réel et x négatif est bien sûr un problème : il faut utiliser une détermination complexe du logarithme sur C privé d'une demi-droite. Je crois que cela n'a rien à voir avec mon problème.

[Nicolas_75]

Yos, tu dis : "Je dis qu'on peut donner un sens naturel à x^x pour x réel<0."
Quel "sens naturel" donnes-tu à ?

[Nicolas_75]

A nouveau, je prends l'exemple de ma suite ci-dessus. est une suite de rationnels négatifs à dénominateur impair après simplification (conjecture) tendant vers .
Mais ne me semble pas converger.

[El_Gato]

Vouloir donner un sens dans certains cas à quand x n'est pas strictement positif conduit à une pléthore de cas particuliers assez gênants, car les règles de calcul usuelles s'appliquent mal comme on l'a vu plus haut avec les exemples de Nicolas_75.

Mieux vaut en rester à défini que pour x >0.

D'autre part passer par une détermination dans n'est pas souhaitable non plus: les mathématiciens s'accordent pour dire que n'est pas définissable de façon satisfaisante.

[Nicolas_75]

... ou x<0 avec y rationnel p/q à dénominateur impair une fois simplifié.
On définit alors par : cela ne pose pas de problème.

[yos]

1) Je ne vois pas pourquoi tu parles de conjecture : quand on multiplies des nombres impairs, on obtient un nombre impair.
2) Pourquoi ça ne convergerait pas?
3) Quand tu prends (pour p>0, q>0), , tu as simplement .
D'où mon prolongement "naturel" pour x réel <0 : .
4) Je pense que ta suite converge vers .

[Nicolas_75]

C'est faux quand est pair !
Prends et

Cela ne peut pas être égal à

[Nicolas_75]

C'est l'exemple de ma suite dont le numérateur est successivement pair et impair. Les termes de sont successivement positifs et négatifs. Donc, soit la suite tend vers 0, soit elle diverge. Bien sûr, elle diverge.

[Nicolas_75]

On pourrait essayer de voir si et convergent. Je vais regarder...

(EDIT) Pardon : et

[yos]

Je vois ce dis Nicolas75. Il y a en effet un problème avec la suite Un^Un que je n'avais pas vu. A un moment tu as parlé de dénominateur impair alors qu'il s'agissait de numérateur impair je pense, et c'est peut-être ce que je n'avais pas compris. Tu es bien d'accord que (-p/q)^(-p/q) a un sens quand q est impair (p, q positifs) : tu le calcules toi-même dans le précédent message. Je pense que tu es d'accord aussi que les rationnels de ce type sont denses dans R , même si on impose à p d'être lui aussi impair. Du coup, tu as x^x qui est bien défini pour une classe dense et qui coïncide avec -(-x)^x. D'où le prolongement On obtient un truc genre (pas continu en 0).
C'est sans intérêt je le reconnais, d'autant plus que vue ta remarque pertinente, cela ne coïncide pas avec les valeurs espérées de (-p/q)^(-p/q) quand p est pair.
Ce que je voulais dire surtout, c'est que si on demande l'ensemble de définition de la fonction x^x, on s'expose à des problèmes : une réponse genre "c'est R*+ car c'est égal à exp(xlnx)" n'est pas du tout satisfaisante ou bien il faut retourner au collège ou on apprend le sens de (-2)^(-2).

Pour terminer,
je réponds à la remarque d'El Gato qui porte un jugement de valeur bien péremptoire sur les fonctions multiformes et leurs déterminations complexes, qui sont d'usage constant en math. L'invention par Riemann des surfaces qui portent son nom ont parfaitement permis de travailler avec ces fonctions.

[El_Gato]

Pour terminer,
je réponds à la remarque d'El Gato qui porte un jugement de valeur bien péremptoire sur les fonctions multiformes et leurs déterminations complexes, qui sont d'usage constant en math. L'invention par Riemann des surfaces qui portent son nom ont parfaitement permis de travailler avec ces fonctions.

Non. Les fonctions multiformes ne sont plus utilisées en math pures depuis longtemps. Pour cela, consulter l'introduction du chapitre 9 du tome 1 des "Elements d'Analyse" de J. Dieudonné (chapitre intitulé: "fonctions analytiques"), qui contient en outre une interessante discussion sur le caractère parfaitement inepte d'une définition de en terme de "fonction multiforme".

On peut parfaitement manipuler des fonctions holomorphes f telles que , g autre fonction holomorphe sans jamais parler de fonction multiforme.

La théorie des surfaces de Riemann contient justement la solution à toutes les impasses des fonctions dites "multiformes". Cette théorie permet de se passer de telles "fonctions".

Fondamentalement, dans le plan complexe, la possibilité d'inverser "dépend de la forme" de l'ouvert sur lequel est défini une fonction.

Le cas des ouverts simplement connexes ne pose pas de problème. Mais dès que l'ouvert n'est plus simplement connexe, des phénomènes étranges se produisent: une fonction peut avoir une racine carrée sans avoir de Log etc.

Une solution correcte à ces problèmes passe par des outils de topologie différentielle, et non pas par des "fonctions multiformes", dont la définition contredit la notion même d'application, et qui a le principal défaut de conduire aux problèmes évoqués par Nicolas_75, plus bien d'autres encore.

En d'autres termes: on n'inverse pas facilement dans un revêtement à une infinité de feuillets.