Z[x]

[Nightmare]

Tu as écris deux choses contradictoires :

f(a+b ) = somme de k =0 à n ( a_k + b_k ) X^k

f(a+b) = somme ( a_k + b_k ) = ...

Tu as la bonne idée dans le fond, mais tu as un gros problème de mise en forme!

[Mulan]

Je ne comprend pas mon probleme de mise en fond c'est parce que je n'ai pas precisé pour k=0 à n ?

[bentaarito]

f(a+b ) = somme de k =0 à n ( a_k + b_k ) X^k

t'as f(a)=a(1) donc f(a+b) = (a+b)(1) non ??
donc le X doit être remplacé directement par 1 dans ton écriture

[Nightmare]

Mise en forme, pas mise en fond!

Le problème, c'est qu'une fois, tu écris que f(a+b) est un polynôme, et l'autre fois que c'est un nombre.

Il y a un X^k en trop ou en moins dans l'une des égalités.

[Mulan]

Bein oui vu que f : P-> P(1) on ne peut pas remplacer X par 1 non ?

[bentaarito]

on a bien f(P)=P(1) qui est un réel!!!
donc l'image de "n'importe quoi" par f est un réel , mais mieux, c'est l'image de 1 par P, ie P(1).
donc ton écriture qui fait intervenir le X^k est erronée.

[Nightmare]

On ne peut pas ou on peut? Je ne te suis pas.

a et b, ce sont des éléments de Z[X]. Comment s'écrivent-ils?

Comment s'écrit alors a+b?
Comment s'écrit alors f(a+b)?

Comment s'écrit f(a)? Comment s'écrit f(b)? Comment s'écrit alors f(a)+f(b)?

[Mulan]

oui

f(a+b) = somme (ak+bk) X^k = somme ak X^k + somme bk X^k = f(a) + f(b)

f(a*b) = somme (akbk) X^k et la je pense qu'il faut utiliser cauchy mais je bloque je n'arrive pas à donner somme de vn * somme un tel que ce serait égal à somme wn avec wn = u0vn + u1vn-1 + ...

[Nightmare]

f(a+b) = somme (ak+bk) X^k = somme ak X^k + somme bk X^k = f(a) + f(b)

Non, ceci est faux.

Essaye de répondre, dans l'ordre, aux questions de mon post précédent.

[Mulan]

D'accord, alors

a et b, ce sont des éléments de Z[X]. Comment s'écrivent-ils?

a = somme de k = 0 à n a_k X^k
b= somme de k = 0 à n b_k X^k

Comment s'écrit alors a+b?
somme de k = 0 à n a_k X^k + somme de k = 0 à n b_k X^k

Comment s'écrit alors f(a+b)?
somme de k = 0 à n a_k 1^k + somme de k = 0 à n a_k 1^k

Comment s'écrit f(a)? Comment s'écrit f(b)? Comment s'écrit alors f(a)+f(b)?

f(a) = somme de k = 0 à n a_k 1^k
f(b) = somme de k = 0 à n a_k X^k

f(a) + f(b) = somme de k = 0 à n a_k 1^k + somme de k = 0 à n b_k 1^k

[Nightmare]

C'est ok.

On a donc f(a+b)=somme des ak + sommes des bk = f(a)+f(b).

Ce qui n'allait pas, c'était ton X^k. f(......) c'est un nombre réel, pas un polynôme.

Ok. maintenant, les même questions, mais avec a*b au lieu de a+b!

[Mulan]

alors

a = somme de k = 0 à n a_k X^k
b= somme de k = 0 à n b_k X^k

f(a*b) = a = somme de k = 0 à n a_k 1^k * somme de k = 0 à n b_k 1^k = f(a) *f(b)

f(élément neutre de départ) = élément neutre d'arrivée