Z[x]

[Mulan]

Bonjour, merci de m'aider si possible

1) Les applications de Z[X] dans Z sont a) P-> P(1) et b)P-> P'(0).
Est ce que a) et b) sont des morphisme d'anneaux.

2) Les sous ensembles suivant sont ils des sous anneaux, des idéaux ?
a) { P dans Z[X], P(1) = 1 }
b) { P dans Z[X], P(1) = 0 }
c) { P dans Z[X], P(1) dans 3Z }
d) { P dans Z[X], P'(1) = 0 }

Alors ,

1) a) P->P(1)

P(x+y) = P(1) différent de P(x) + P(y) = 2 P(1) Donc pas morphisme d'anneaux

b) Oui P(x+y) = P(x)+P(y) et P(x*y) = P(x) * P(y)

Par contre je n'arrive pas à montrer que P(neutre de Z[X]) = neutre de Z = 1

2) sous anneaux :

- ( I, + ) sous groupe de (Z[X], + )
- 1 dans I
- x est stable

a) Stable Ok
1 dans I
l'inverse existe Ok
0 n'est pas dans I donc ce n'est pas un sous groupe donc pas un sous anneau.

b) Pas sous anneau car 1 n'apartient pas au sous ensemble

Et les deux autres je ne sais pas
Et je ne trouve pas de méthode pour les ideaux
Merci

[Nightmare]

Re salut,

je ne comprends pas tes démonstrations pour la 1)a) et b). Pourquoi évalues-tu P(x+y) et P(x*y)? Qui est P?

Pour 2), je ne comprends pas la définition à partir de la quelle tu pars. Que veut dire "x est stable" ? Qui est x?

[Mulan]

Alors pour montrer qu'il s'agit d'un morphisme d'anneaux, il faut montrer que pour tout a,b dans Z, on a
f(a+b) = f(a) + f(b), f(a*b) = f(a) * f(b)
et f( neutre de depart ) = neutre d'arrivée.

x est le signe de la multiplication.

[Nightmare]

Alors pour montrer qu'il s'agit d'un morphisme d'anneaux, il faut montrer que pour tout a,b dans Z, on a
f(a+b) = f(a) + f(b), f(a*b) = f(a) * f(b)
et f( neutre de depart ) = neutre d'arrivée.

Oui, mais je ne vois pas le rapport avec ce que tu as fait... Regarde bien ta réponse.

x est le signe de la multiplication.

Je ne comprends pas plus, que veut dire "la multiplication est stable" ?

[Mulan]

Si je prend un polynome P = a0 + a1X + a2X² + an-1 ( X^n-1 )

Ah oui en prenant P(a+b) = a0 + a1(a+b) + a2(a+b)² + ...
mais la ca me gene je bloque dessus



P( neutre de départ noté 1A) = a0 + a1 + a2 + ... + an-1 différent de 1 ?

[Nightmare]

Tu essayes de montrer quoi là? Qu'un polynôme est un morphisme d'anneau? Bon courage...

Relis bien l'énoncé, à aucun moment il n'est question de démontrer quoi que ce soit sur P (on ne sait même pas qui c'est). Par contre, on veut montrer que l'application qui à un polynôme P associe l'entier P(1) elle est un morphisme d'anneau (ou non)

PS : Ce n'est vraiment pas une bonne idée de faire deux exos en même temps. Tant que l'autre sur les idéaux de C[X] et R[X] n'aura pas été résolu, au moins partiellement, je m'abstiendrai d'intervenir ici.

[Mulan]

Alors on a :
Z[X] -> Z
P -> P(1)

P est un morphisme de groupe additifs.
Je voudrais trouver une application phi tel que phi est un morphisme d'anneaux

[Nightmare]

Alors on a :
Z[X] -> Z
P -> P(1)

P est un morphisme de groupe additifs.

Encore une fois, qui est P? Il n'y a aucune application qui s'appelle P dans l'énoncé... Par contre, la variable, qui ici est un polynôme, est notée P elle...

Cela dit, je me répète : Faire deux exercices en même temps sans en comprendre un seul, c'est voué à l'échec de la compréhension. Donc abandonne cet exo jusqu'à ce que tu réussisses l'autre.

[Mulan]

P vu qu'il est dans Z[X] est forécément un polynôme donc pourquoi ne peut on utiliser l'écriture de P en facteurs de polynôme puis la définition d'un morphisme d'anneaux ?

[Nightmare]

Je ne comprends pas ce que tu veux faire...

Encore une fois, c'est pas P qui est censé être un morphisme...

[Mulan]

Oui je comrprend bien que P doit etre un morphisme c'est pour ca que je cherche à montrer que P(a+b) = P(a) + P(b) ...

[Nightmare]

Si tu me lis de travers, on ne va pas y arriver.

Je me cite :

Encore une fois, c'est PAS P qui est censé être un morphisme...

Relis ton énoncé (je te l'ai déjà demandé) et dit moi à quel moment on te demande de montrer que "P est un morphisme" ? Aucun.

[Mulan]

On me demande si les application de Z[X]-> Z suivante sont elle des morphismes d'anneaux.

Dans ce cas je ne vois comment faire.

[Nightmare]

De quelle application s'agit-il alors?

[Mulan]

f : P -> P(1) avec f comme application et il faut donc que je montrer que f est un morphisme d'anneau alors,

Mais comment puis je faire si je ne peux utiliser le fait que f(a+b) doit valoir f(a) + f(b) ?

[Nightmare]

f : P -> P(1) avec f comme application et il faut donc que je montrer que f est un morphisme d'anneau alors,

Oui, c'est bien ça dont il s'agit.

Mais comment puis je faire si je ne peux utiliser le fait que f(a+b) doit valoir f(a) + f(b) ?

Pourquoi ne pourrais-tu pas l'utiliser? On a pas le choix, ça fait partie de la définition d'un morphisme d'anneau, on est donc obligé de montrer que f(a+b)=f(a)+f(b).

[Mulan]

En fait tout le long je ne comprenais pas ce que vous me disiez car je croyais que je devais utiliser une autre méthode alors

f(a+b) = somme (ak+bk) X^k , or P = P(1) = somme ak + bk = somme ak + somme bk = f(a) + f(b)

f(a*b) = somme (akbk)X^k et la pour la séparer je ne pense pas avoir le temps

[Doraki]

t'as une drôle de définition pour le produit de deux polynômes.

[Nightmare]

Non, ce que je te dis depuis le début, c'est que ce n'est pas P qui nous intéresse. Toi, tu voulais démontrer que P(x+y)=P(x)+P(y) etc.. ce qui est faux et n'a aucun rapport avec l'énoncé.

Cela dit, je ne comprends toujours pas les calculs que tu fais.

f(a+b) = somme (ak+bk) X^k

D'où ça vient ça? Et qui sont a et b d'ailleurs?

Le reste c'est pareil, ça sort de nulle part, je ne comprends pas ce que tu fais.

As-tu bien compris qui était ton application f?

Edit : J'ai fini par déchiffrer ta première ligne qui me semble fondamentalement correcte. Je pense que tu as bien compris la définition de f. Par contre, la deuxième ligne ne va pas

[Mulan]

Soit a,b dans Z[X]

f(a+b ) = somme de k =0 à n ( a_k + b_k ) X^k

Or on sait que f : P-> P(1)

f(a+b) = somme ( a_k + b_k ) = somme a_k + somme b_k = f(a) + f(b)

est ce plus clair ?

Par contre je n'arrive pas à simplifier le produit