zazagabord a écrit:merci donc si je simplifie en base dix, ce sont les chiffres compris entre 0 et 9 et en base 4 entre 0 et 3 ?
Non.
Il est important de différencier la notion de
chiffre de celle de
nombre. Les chiffres sont les lettres d'un alphabet qui sert à écrire les nombres. Dans l'écriture du nombre "quarante-deux" en base dix, on utilise les chiffres 4 et 2. Dans l'écriture du nombre "huit" en base dix, on utilise le chiffre 8. Mais les chiffres
ne sont pas les nombres de 0 à 9 !
C'est exactement la même différenciation que, par exemple, entre la lettre "a" et le mot "a" ("qui
a volé les tartes ?").
Les nombres entiers sont une chose (c'est un ensemble infini constitué de zéro, un, deux, trois, etc...), leur représentation en est une autre.
En base dix, on écrit tout nombre comme la somme de puissances de dix successives affectées de coefficients multiplicatifs étant égaux à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
, etc. On écrit un nombre
(pour un nombre à quatre chiffres, mais ça se généralise à un nombre quelconque de chiffres !) qui signifie en fait
.
Dans ton exemple, 1939=1*1000+9*100+3*10+9*1.
L'écriture ci-dessus montre que la particularisation de dix pour la base est purement arbitraire. On peut en fait écrire tout nombre comme une somme de puissances n-ièmes affectées de coefficients situés entre 0 et (n-1) pour tout entier n supérieur ou égal à 2. L'écriture d'un nombre
signifiera alors
.
mais alors pour calculer 1939 en base 4, comment fait -on ?
Il faut regarder comment on fait pour écrire 1939 en base 10 :
-on commence par diviser 1939 par 10 (division euclidienne apprise au collège) : 1939=193*10+9. Ici 193 est ton quotient et 9 est ton reste (il est bien strictement plus petit que 10 comme l'énonce le théorème de la division euclidienne : ouf !). 9 sera donc le chiffre des unités.
-on réitère l'opération en prenant le quotient de l'étape précédente : 193. 193=19*10+3. 3 sera donc le chiffre des dizaines, et 19 le quotient.
-on réitère l'opération : 19=1*10+9 : 9 sera donc le chiffre des centaines, et 1 le quotient.
-on réitère l'opération : 1=0*10+1. On s'arrête parce qu'on trouve un quotient égal à 0, et le dernier reste (ici 1) est le chiffre des milliers.
En base 4, c'est exactement pareil ! Il faut effectuer la division euclidienne de 1939 par 4 (comme ce qu'on a appris à l'école primaire) : le reste dans la division sera alors le chiffre des unités en base 4. Puis on réeffectue la D.E. du quotient par 4, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on tombe sur un quotient nul.
Bon courage ! Et n'hésite pas à reposer des questions si ça ne te paraît pas clair.