P'tit exercice sur les polynômes PCSI..

[d0n]

Bonjour à toutes et à tous !
C'est les vacances, et j'ai décidé qu'elles seront studieuses. J'ai donc décidé de revoir mes leçons comme il fallait et de faire quelques exos d'application.
Et la je suis tombé sur un, dont voici l'énoncé :

Soit "Téta" appartenant à R, n un entier non nul et Pn le polynome X^(2n) - 2X^ncos(n."Téta") + 1 . Montrer que P1 divise Pn et déterminer le quotient sous forme factorisée.

J'ai donc écrit Pn = P1 . Q +aX+B et j'ai montré que a=b=0. C'est sur la seconde partie du pb que je bloque, je ne vois pas comment faire.. Si quelqu'un a une idée.. Merci !! :we:

[tize]

Petit éclaircissement :

Toutes les racines de sont donc les racines nièmes de et

[fahr451]

bonsoir

en posant z = exp (itéta)

on a P1 = (X-z)(X-zbarre)

Pn= (X^n -z^n) (X^n-zbarre^n)


et utiliser l 'identité

X^n -z^n = (X-z) [X^(n-1) +zX^(n-2) +....+z^(n-1) ]

[tize]

X^n -z^n = (X-z) [X^(n-1) +zX^(n-2) +....+z^(n-1) ]

J'ai peut être pas compris où tu voulais en venir Fahr451 mais comme ceci on a pas de forme factorisée...non ?

[fahr451]

ah bon?

le quotient est

[X^(n-1) +...+z^(n-1) ]fois ^le même en z barre

[d0n]

Je n'avais pas pensé à la factorisation de Pn ... Merci beaucoup !