TIPE : Nombres quasi-parfaits

[BenBiz]

Bonjour à tous !

Je suis en classe préparatoire MPSI, et je travaille en TIPE sur un sujet sur les nombres premiers. On a élargi notre zone de recherche, et j'ai trouvé ce qui s'appelle les nombres quasi-parfaits. Ce sont des entiers dont la somme des diviseurs propres (différents de lui même) excède de 1 la valeur de cette entier.

Aucun exemple d'entier vérifiant cette propriété n'a été trouvé à ce jour, mais on connait plusieurs propriétés les concernant. Deux d'entre-elles sont :
- un nombre quasi-parfait est le carré d'un entier impair.
- un nombre quasi-parfait admet au moins 7 diviseurs premiers.

Ce qui m'intéresse, c'est la démonstration de ces propriétés, comment on a réussi à les établir sans avoir d'exemple. Donc je voudrais savoir si l'un d'entre vous connait cette démonstration, déjà si elle existe, ou éventuellement me donner des pistes de recherche, savoir où je pourrai me la procurer...

Je m'excuse d'avance au près des modérateurs si le sujet n'est pas à sa place...

Merci de m'avoir lu :P

[ThSQ]

Intéressant mais je ne sais pas si tu vas trouver beaucoup de résultats sur ces nombres.

Le 1er est faisable en tout cas :

- Si n = p^a N alors sigma(n) = 2n+1 = (1+p+...+p^a) sigma(N)
possible que si a est pair. n est donc un carré.

- Si n = 2^a N²
On remplace et on obtient que 2^(a+1)-1 | N²+1
Prends p un diviseur premier de 2^(a+1)-1 et applique le petit Th de Fermat pour obtenir a=1 (faut que tu bosses un peu )

[BenBiz]

Merci de ton aide :)

Je comprend pas tout à fait ce que tu as fait, déjà, sigma (n) = n+1 et non pas 2n+1, c'est la définition d'un nombre quasi parfait, ou alors c'est moi qui me trompe ?

Ensuite, quand tu écris n = (p^a)*N, N, p et a sont également des entiers ou des nombres plus particuliers (je sais que p est souvent utiliser pour désigner un entier premier...)

J'arrive pas non plus à voir si tu as fait 2 cas, où si c'est la suite logique de la démonstration...

Je bosse, mais je suis perdu :mur:

[ThSQ]

En général la somme des diviseurs comprend aussi le nombre lui-même (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait ).

Donc avec cette définition (qui donne une belle formule) c'est bien sigma(n) = 2n+1.


Oui p désigne souvent un nombre premier. n = (p^a)*N implique (implicitement) qu'on met toutes les puissances d'un nombre premier ensemble et que N n'est pas divisible par p.

Pour le 2- il faut utiliser (en tout cas j'ai fait comme ça) le théorème de Fermat. Tu connais ? ( cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat )

Bon courage