Théorie des modules !
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barbu23
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par barbu23 » 16 Jan 2009, 12:33
Bonjour :
Voiçi un Théorème de mon cours sur les modules que je comprends pas la démonstration ! Vueillez m'aider, et merci mille fois !
Théorème :
Soit
un anneau et
_{s} $)
une famille de
modules.
Pour tout
module
, et toute famille
_{s} $)
de mrophismes :
, il existe un unique morphisme
tel que pour tout
:
Démonstration :
Posons :
= (m_{s})_{s} = (f_{s}(m))_{s} $)
Montrons que :
est un homomorphisme de
modules.
:
 = (f_{s}(a.m+b.n))_{s} = (a.f_{s}(m)+b.f_{s}(n))_{s} = a.(f_{s}(m))_{s}+b.(f_{s}(n))_{s} = a.f(m)+b.f(n) $$)
Supposons que :
verifie
.
Alors si :
= (m_{s})_{s} $)
, on a nacessairement :
_{s}) = p_{s}(f(m)) = p_{s} \circ f(m) = f_{s}(m) $)
.
ce qui montre que
est unique.
Question :
J'arrive pas encore à comprendre le passage où il est dit que
est unique ! Quelle propriété a-t-on utilisé pour montrer l'unicité de
?
Merci infiniment !
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Doraki
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par Doraki » 16 Jan 2009, 15:15
Ils ont dit que si on suppose que pour tout s, ps composé avec f = fs,
alors pour tout s et pour tout m, ps(f(m)) = fs(m)
f(m) est un élément du produit des Mi donc f(m) est une famille (mi) avec ms dans Ms.
Donc pour tout s et pour tout m, fs(m) = ps(f(m)) = ps( (mi) ) = ms.
Donc en fait, pour tout m, f(m) est la famille des fs(m).
Donc y'a pas de choix possible pour les valeurs de f.
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yos
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par yos » 16 Jan 2009, 16:42
Existence de f :
barbu23 a écrit:Posons :
Montrons que :
est un homomorphisme de
modules.
:
Unicité de f :
barbu23 a écrit:Supposons que :
verifie
.
Alors si :
, on a nacessairement :
.
ce qui montre que
est unique.
La première ligne de la partie unicité signifie : "soit f comme il faut".
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barbu23
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par barbu23 » 17 Jan 2009, 18:11
Salut "Doraki" et "yos" :
Ce que j'ai pas encore compris, est le passage suivant :
on a nacessairement :
est unique.
Ce qu'on fait la plupart du temps pour montrer l'unicité l'unicité d'un objet, on considère un deuxième objet, et on fait un petit developpement de calcul jusqu'à ce qu'on arrive à une égalité entre ces deux objets, mais ici, ils font rien de tout celà ! Je ne sais pas pourquoi, c'est encore obscure ce passage !
Merci d'avance de votre aide !
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Doraki
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par Doraki » 17 Jan 2009, 18:44
On a M, M1, M2...Mk des A-modules, f1,f2...fk des morphismes, fi : M -> Mi.
Y'a combien de morphismes (ou même de fonctions) f : M -> M1 * M2 ... * Mk
telles que pour tout m de M, f(m) = (f1(m),f2(m)....fk(m)) ?
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yos
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par yos » 17 Jan 2009, 18:48
barbu23 a écrit:Ce qu'on fait la plupart du temps pour montrer l'unicité d'un objet, on considère un deuxième objet, et on fait un petit developpement de calcul jusqu'à ce qu'on arrive à une égalité entre ces deux objets,
Non, il y a d'autres façons de prouver l'unicité. Souvent, on prouve l'unicité
avant l'existence dans une démonstration analyse-synthèse. C'est le plus naturel dans beaucoup de cas (y compris ici, ce serait mieux selon moi).
Le principe est :
- Analyse (ou unicité sous réserve d'existence) : supposons que l'objet K existe. Alors il vérifie ceci-cela (des conditions nécessaires qui rendent l'objet déterminé (s'il existe!)).
- Synthèse (ou existence) : considérons un objet du type ceci-cela (obtenu en fin d'analyse). On montre qu'il convient.
Ici, le prof fait l'existence en premier car on voit bien l'objet f à exhiber. Ensuite il prouve que y avait pas le choix pour f (uncité).
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