Théorie des groupes II

[iamsebfont]

Salut,
Encore une autre question ..
Comment montrer que le sous - groupes des translations est invariant et que le ss-groupe des dilatations n'est pas invariant si on considère le groupe affine de la droite réelle G constitué des transformations du type : x --> ax+b avec a>0 et b réels.

Merci beaucoup !

[yos]

Calcule où f(x)=ax+b et t(x)=x+c.

[iamsebfont]

ca fait

Le sous groupe des translations est donc laissé invariant par l'action conjugué d'un élément quelconque du groupe.

De même, si je prend d(x)=cx et que je fais f(d(f-1(x))), j'obtiens

Cette fois, le sous-groupe des dilatations n'est pas laissé invariant par l'action conjugué d'un élément quelconque du groupe.

C'est ça ?

[yos]

Oui (j'ai pas fait les calculs).

[iamsebfont]

Ok merci !

[iamsebfont]

Ah encore une question..
Si et sont des représentations irréductibles des groupes et , est ce que le produit tensoriel est une représentation irréductible pour le groupe produit ?

Thanks

[yos]

Non, l'irréductibilité ne résiste pas au produit tensoriel en général.
Un bon exercice est de trouver un contrex! Faut taper dans du non-abélien sinon aucune chance (groupe abélien = toutes les représentations irréductibles de degré 1 et comme un produit tensoriel de droites est une droite...). Peut-être avec le produit de par lui-même.