Théorie des ensembles

par **Vupen** » 22 Fév 2015, 17:07

Bonsoir,

http://image.noelshack.com/fichiers/2015/08/1424621113-thensemble.png

Petite aide pour la question 2). En gros je veux montrer que A' = A inter f => B' = B inter f' avec A' P(A), B' P(B) et (f, f') F, right ?

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 08:01

Petit up :zen:

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 09:59

Aloha,

Soit X une partie de B.
X est aussi une partie de A (pourquoi ?).
Donc il existe un élément Y de F tel que X = A n Y (pourquoi ?)
Comment conclure ?

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 10:15

Ok, c'est tout bête.

X est aussi une partie de A (pourquoi ?).

Car B A

Donc il existe un élément Y de F tel que X = A n Y (pourquoi ?)

Par hypothèse.

Comment conclure ?

X étant pris arbitrairement, on en déduit que F_B = P(B)

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 10:27

Vupen a écrit:X étant pris arbitrairement, on en déduit que F_B = P(B)

Ah non, pour avoir ça, il faudrait que tu aies X = B n Y. Mais ici tu as X = A n Y.

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 10:41

Monsieur23 a écrit:Ah non, pour avoir ça, il faudrait que tu aies X = B n Y. Mais ici tu as X = A n Y.

Certes ... en utilisant le fait que A = A inter B et en utilisant les règles opératoires sur les ensembles ? :mur:

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 10:52

Du coup on a X = (A inter Y) inter B, or A inter Y F, donc c'est bon ?

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 10:55

Vupen a écrit:Certes ... en utilisant le fait que A = A inter B et en utilisant les règles opératoires sur les ensembles ? :mur:

Presque, sauf que A n B = B (B est inclu dans A).

Donc si tu pars de X = A n Y, et que tu prends "inter B" de chaque côté", ça te donne X n B = A n B n Y.

X est une partie de B, donc X n B = X, et B est une partie de A, donc A n B = B. :lol3:

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 11:02

Mince, en effet ! Merci bien !

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 11:19

Pour la dernière question. Soit X A, Y F. Alors X = Y inter A. Or F G, donc Y G et donc G éparpille A ?

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 11:37

Ça me paraît bon :we:

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 11:53

La suite.

1) Suffit de prendre A = ensemble vide E ?

2) Soit F = {F1, ..., F(k+1)}. Si pour tout i, x F_i => x F1 inter F2 inter ... inter F_(k+1), alors tous les Fi sont égaux. Or (implictement) on suppose pas tous les Fi égaux donc il existe au moins un i tel qu'il existe x F_i => x n'appartient pas à l'intersection de tous les Fi

C'est bon ?

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 13:00

Il faudrait que tu précises que les Fi ne sont pas tous vides, pour pouvoir prendre un élément dedans.

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 13:29

Ok.

Pour la question d'après, je peine à exhiber une fonction injective de F1 dans E1 pour montrer |F1| < |E1| ... Y a la fonction caractéristique quelque part ?

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 13:35

Utilise plutôt l'hypothèse de récurrence :lol3:

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 13:53

Okay.

F = F1 U F2, F1 inter F2 = 0, donc |F| = k + 1 = |F1| + |F2|, donc |F1| <= k. Par hypothèse de récurrence, on a alors |E1| >= |F1|

De même pour |F2|.

Après, je ne vois pas pourquoi x ne peut appartenir aux ensembles :\

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 14:39

On regarde E2 d'abord :
Si un élément X de E2 contient x, alors comme X est eparpillé par F2, pour toute partie de X on a
En particulier, {x} est une partie de X, donc il existe Y dans F2 tel que {x} = X n F2. Pourquoi est-ce impossible.

Pour E1 :
Soit X dans E1, qui contient x. Essaye de faire le même raisonnement que pour E2, mais avec l'ensemble X\{x}.

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 14:43

Très bien, j'ai saisi ! Merci ! Je poursuis ...

par **Vupen** » 23 Fév 2015, 16:04

Pour la première partie de la 4).

Soit A E1 inter E2. Soit A' A U {x}. Alors A' A ou A' = {x}. Dans le deuxième cas, en prenant X F1 F, on a alors {x} = (A U {x}) inter X, donc F éparpille {x}.

Maintenant supposons A' A. Or A' E1 inter E2, donc A1 = A' inter E1 et A2 = A' inter E2 avec A1, A2 A'. J'ai un peu l'impression qu'il va falloir utiliser ce qu'on a montré au tout début mais je ne vois pas comment ... En gros je veux montrer qu'il existe X F tel que A' = A inter X ...

par **Monsieur23** » 23 Fév 2015, 16:53

Ok, maintenant, soit donc A' une partie de Au{x} (j'ai l'impression que tu utilises pour "inclu" et pour "appartient", et que ça te confuse). Il y a deux cas :
1. Soit x est dans A'.
2. Soit x n'est pas dans A'.

Dans le second cas, tu peux conclure avec la question 2 de la partie 1.

Dans le premier cas, tu peux écrire A' = A'' u {x}, où x n'est pas dans A''.
Comme A'' est une partie de A, et que A est dans E1 et dans E2, tu peux en conclure des trucs sur A''.

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