Théorie des ensembles : entiers naturels (niveau débutant)

[christian57]

bonjour à tous. Je suis christian57, j'adore et j'apprends les maths en autodictates, j'ai niveau terminal S.

J'ai acheté le livre théo des ensembles de laurent schwartz, mais j'ai des questions. Donc j'attaque les entiers naturels N.

1) Axiome de l'infini : j'ai compris, La notion de successeur, j'ai compris.

N est l'ensemble le plus petit qui respecte l'axiome de l'infini. OK mais c'est quoi le plus petit. A aucun moment dans son bouquin, il est question de taille, ni de cardinal d'ensemble.

Le théorème affirme que soit W les ensembles qui respecte l'axiome de l'infini, l'intersection de tous les ensembles W est N. Ok donc l'intersection d'une famille d'ensemble qui a une propriété donné est toujours le plus petit ensemble qui respecte la propriété.

J'ai essayé de le démontrer en disant, plus on fait des intersections plus le cardinal de l'intersection est petit. Donc l'intersection de la famille d'ensemble est forcément l'ensemble le plus petit. C'est bon ou pas ??


J'ai essayé d'imaginer un ensemble plus grand que N, et qui respecte l'axiome de l'infini.
C'est N, auquel je rajoute par exemple {1,1,1} et l'ensemble de ses successeurs. C'est bon mon exemple ou pas ???

2 Je ne comprends pas cette démonstration par récurrence

théorème 1 : quelque soit n appartenant à N, quelque soit x appartenant à n :
x est inclus dans n.
théorème compris



théorème 2 : quelque soit n et m appartenant à N,
démonstration non comprise
(m inclus dans n) => (m=n ou m appartient à n)

on va démontrer par récurrence , p(0) est vrai , p(n) supposée vrai. OK

on va démontrer :

p(n+) est vrai, n+ est le successeur de n.

on doit démontrer p(n+) est vrai, cad :

quelque soit m appartenant à N, (m inclus dans n+) => (m=n+ ou m appartient à n+)

n+= nU {n}

Je considère que m et {m} sont disjoints, donc on a deux cas:
cas 1 : m inclus dans n
cas 2 : m inclus dans {n}.


Le cas 1 ne pose aucun soucis, il suffit d'appliquer la relation de récurrence au rang n, et de voir que la condition est remplie.


Le cas 2 me fait des soucis. Pour moi, m inclus dans {n} veut dire deux possibilités, soit m est l'ensemble vide soit m ={n}.

Mais je copie exactement la démonstration de Mr Schwartz :

Dans l'autre cas, on a n appartient à m (?????????), par suite, d'après théo1, n est inclus dans m. Et on a {n} est inclus dans m donc n+ est inclus dans m et comme on a supposé que (m est inclus dans n+)= n U {n}, on a donc m=n+ , ce qui prouve l'égalité et achève la preuve

Là j'en perds mon latin, et je me demande d'où sort le début de la démonstration "on a n appartient à m" ???

[Ben314]

Salut,
En math, lorsque l'on parle de "plus petit qui . . ." ou tout autre formulation du même type, ça désigne concerne systématiquement une certaine relation d'ordre (i.e. un truc réflexif, transitif et antisymétrique) sur l'ensemble considéré.
Lorsqu'il s'agit de nombres (entier ou réels), sauf précision contraire, il s'agit de la relation d'ordre usuel (celle de la vie de tout les jours). Lorsqu'il s'agit comme ici d'ensembles, sauf précision contraire, il s'agit de la relation d'inclusion (et ça n'a quasiment aucun rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble).
Bref, lorsqu'on dit que "N est l'ensemble le plus petit qui respecte l'axiome de l'infini", ça signifie que
1) N vérifie bien cet axiome.
2) Tout ensemble vérifiant cet axiome contient N.
Ensuite, face à une certaine propriété concernant les ensembles, s'il existe effectivement un "plus petit ensemble ayant cette propriété là", alors ce plus petit ensemble est bien évidement égal à l'intersection de tout ceux ayant cette propriété là (ça découle immédiatement des deux points ci dessus). Mais il faut évidement faire attention au fait qu'il est tout à fait possible qu'il n'y ait pas de "plus petit ensemble tel que...".
Par exemple, il est bien clair qu'il n'existe pas de "plus petit ensemble infini" vu que si on prend un ensemble infini et qu'on lui enlève un élément, ben ça reste infini.

Sinon, ça :

n+= nU {n}
Je considère que m et {m} sont disjoints, donc on a deux cas:
cas 1 : m inclus dans n
cas 2 : m inclus dans {n}.

C'est complètement faux : si un ensemble A est inclus dans la réunion de deux ensemble B et C, ça n'implique absolument pas qu'il est inclus dans un des deux. Par exemple A={1,3} est inclus dan la réunion de B={1,2} et de C={3,4} sans être inclus ni dans B, ni dans C.
Bref, ici, vu que m est inclus dans nU {n}, les deux cas à considérer c'est :
Cas 1 : Soit n n'appartient pas à m et dans ce cas, on a m inclus dans n.
Cas 2 : Soit n appartient pas à m.
Et c'est ce deuxième cas là que l'auteur considère.

[christian57]

yo merci !!!!!!

et mon exemple avec N U {1,1,1,} , il est bon ??????

[Ben314]

Non, pas vraiment.
- Déjà, {1,1,1}, je vois pas trop ce que ça peut désigner comme ensemble : quand on a deux ensembles A et B, alors soit A n'appartient pas à B, soit il appartient à B, mais il ne peut pas "appartenir plusieurs fois" à B, donc quand on écrit un ensemble en extension (i.e. avec des accolades et la liste de ces éléments), ben on ne met jamais deux fois le même élément. Ou alors, on on peut éventuellement considérer qu'on autorise ces répétition, mais qu'elles "ne servent à rien", c'est à dire que {1,2,1,1,2} = {1,2} sauf que c'est un peu piège à con du fait que,lorsque l'on écrit que X={a,b}, avec cette acceptation du fait que a peut être égal à b, ça ne signifie pas obligatoirement que X a deux éléments.
Bref, {1,1,1}, je vois pas trop ce que ça peut être d'autre que {1}.
- Ensuite, vu que 1 est lui même un élément de N, ben Nu{1}, c'est N est c'est tout.

Si tu veut un ensemble plus gros que N et lui aussi stable par application du successeur x ↦ x ∪ {x}, tu peut par exemple poser (N+1) = N ∪ {N} ; (N+2) = (N+1) ∪ {(N+1)} ; (N+3) = (N+2) ∪ {(N+2)} ; etc
puis prendre la réunion de tout ces ensembles là.