Théorie des distributions

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Connaissez vous quelques problèmes ouverts ou conjectures qui ne sont pas encore résolu en théorie des distributions ou en théorie des courants ( La théorie des courants est une généralisation de la théorie des distributions, de formes différentielles sur des variétés ) ?

Merci infiniment.

[SLA]

Bonjour à tous, :happy3:

Connaissez vous quelques problèmes ouverts ou conjectures qui ne sont pas encore résolu en théorie des distributions ou en théorie des courants ( La théorie des courants est une généralisation de la théorie des distributions, de formes différentielles sur des variétés ) ?

Merci infiniment.

Salut,
Les équations de Navier-Stokes me semblent un début raisonnable. Plus généralement, la plupart des EDP.
La conjecture de Hodge n'est plus à ton goût?
Tu disais avoir une méthode de résolution (en un sens assez bien défini) des équations algébriques, as-tu soumis tes travaux?
Cordialement

[barbu23]

Salut,
Les équations de Navier-Stokes me semblent un début raisonnable. Plus généralement, la plupart des EDP.
La conjecture de Hodge n'est plus à ton goût?
Tu disais avoir une méthode de résolution (en un sens assez bien défini) des équations algébriques, as-tu soumis tes travaux?
Cordialement

Salut SLA : :happy3:
Pour ce qui est de la conjecture de Hodge, j'ai tout à fait compris le problème en lisant les deux livres : "A survey of hodge conjecture" en anglais, et "Fundamentos da Geometria Complexa" en portugais ( disponible sur le net, et très lucide comme livre, on finit par vite comprendre ). C'est simple il me semble d'énoncer le problème, regarde si c'est correct : On prend un courant de degré : , et on cherche à le paramétriser par un cycle algébrique : de manière à respecter la formule qui s'écrit comme suit : , on cherche cette paramétrisation : , et on montre que est surjective, donc, tout ça pour dire à la fin que : est surjective, c'est facile à comprendre à travers le théorème de Lefschetz , donc il s'agit du cas simple lorsque : , les mathématiciens ont réussi à trouver dans ce cas là, c'est : avec : la première classe de Chern qui est surjective, et un morphisme qui associe un diviseur à un fibré en droites, et ils disent que c'est surjective aussi. Je ne sais pas pourquoi. Je n'ai pas arrêté le travail dans ce domaine. On sait d'ailleurs ce qu'est , c'est : , d'après, la suite exacte exponentielle. Donc, il suffit juste de réflechir à une méthode qui permet de paramétriser ce par : , et montrer que c'est surjective pour tout . :we:
Est ce que c'est correcte ce que je dis. :happy3:

Pour ce qui est des équations algébriques, la méthode que j'ai trouvé n'est pas valable malheureusement, mais, je continue à chercher la dessus.

Maintenant, les distributions, et bien simplement parce que, en septembre prochain je vais me réinscrire à la fac où j'étudiais il y'a quelques années, en L3, et donc, je me prépare un petit peu au module de PFE que je présenterai à la fin de l'année, et j'aimerai que ça soit autour de la théorie des courants, c'est pourquoi je cherche si ça existe des conjectures ou des problèmes ouverts là dessus.

Merci d'avance pour votre aide.

[SLA]

Salut SLA : :happy3:
Pour ce qui est de la conjecture de Hodge, j'ai tout à fait compris le problème en lisant les deux livres : "A survey of hodge conjecture" en anglais, et "Fundamentos da Geometria Complexa" en portugais ( disponible sur le net, et très lucide comme livre, on finit par vite comprendre ). C'est simple il me semble d'énoncer le problème, regarde si c'est correct : On prend un courant de degré : , et on cherche à le paramétriser par un cycle algébrique : de manière à respecter la formule qui s'écrit comme suit : , on cherche cette paramétrisation : , et on montre que est surjective, donc, tout ça pour dire à la fin que : est surjective, c'est facile à comprendre à travers le théorème de Lefschetz , donc il s'agit du cas simple lorsque : , les mathématiciens ont réussi à trouver dans ce cas là, c'est : avec : la première classe de Chern qui est surjective, et un morphisme qui associe un diviseur à un fibré en droites, et ils disent que c'est surjective aussi. Je ne sais pas pourquoi. Je n'ai pas arrêté le travail dans ce domaine. :we:
Est ce que c'est correcte ce que je dis. :happy3:

Pour ce qui est des équations algébriques, la méthode que j'ai trouvé n'est pas valable malheureusement, mais, je continue à chercher la dessus.

Maintenant, les distributions, et bien simplement parce que, en septembre prochain je vais me réinscrire à la fac où j'étudiais il y'a quelques années, en L3, et donc, je me prépare un petit peu au module de PFE que je présenterai à la fin de l'année, et j'aimerai que ça soit autour de la théorie des courants, c'est pourquoi je cherche si ça existe des conjectures ou des problèmes ouverts là dessus.

Merci d'avance pour votre aide.

Salut,
Je l'avoue, je ne connais rien en théorie de Hodge. Dès que je vois les mots clés ("fibré", "homologie", "cohomologie", je décroche c'est pas mon domaine).
En revanche, je trouve ça louable que tu reprennes un parcours universitaire. Je te souhaite bon courage dans ce projet.
Par contre, comme on te l'a déjà dit: un problème ouvert pour un L3, c'est de la folie. Mais ton encadrant te le dira.
@+

[barbu23]

SLA :

J'ai modifié mon autre message, tu peux le relire stp .. ?, .. pour comprendre de quoi il s'agit, c'est très simple à comprendre. :happy3:

Merci. :happy3:

[SLA]

SLA :

J'ai modifié mon autre message, tu peux le relire stp .. ?, .. pour comprendre de quoi il s'agit, c'est très simple à comprendre. :happy3:

Merci. :happy3:

Sans façons.
Par contre, dire "c'est très simple à comprendre", ça minimise un peu l'ampleur du truc.
Opte peut-être pour des formulations du type "c'est bien compris depuis X temps"

[barbu23]

Sans façons.
Par contre, dire "c'est très simple à comprendre", ça minimise un peu l'ampleur du truc.
Opte peut-être pour des formulations du type "c'est bien compris depuis X temps"

Oui, c'est vrai tu as raison, j'ai mis beaucoup de temps avant de comprendre cette conjecture. :happy3:

[EGA-SGA]

Salut SLA : :happy3:
Pour ce qui est de la conjecture de Hodge, j'ai tout à fait compris le problème en lisant les deux livres : "A survey of hodge conjecture" en anglais, et "Fundamentos da Geometria Complexa" en portugais ( disponible sur le net, et très lucide comme livre, on finit par vite comprendre ). C'est simple il me semble d'énoncer le problème, regarde si c'est correct : On prend un courant de degré : , et on cherche à le paramétriser par un cycle algébrique : de manière à respecter la formule qui s'écrit comme suit : , on cherche cette paramétrisation : , et on montre que est surjective, donc, tout ça pour dire à la fin que : est surjective, c'est facile à comprendre à travers le théorème de Lefschetz , donc il s'agit du cas simple lorsque : , les mathématiciens ont réussi à trouver dans ce cas là, c'est : avec : la première classe de Chern qui est surjective, et un morphisme qui associe un diviseur à un fibré en droites, et ils disent que c'est surjective aussi. Je ne sais pas pourquoi. Je n'ai pas arrêté le travail dans ce domaine. On sait d'ailleurs ce qu'est , c'est : , d'après, la suite exacte exponentielle. Donc, il suffit juste de réflechir à une méthode qui permet de paramétriser ce par : , et montrer que c'est surjective pour tout . :we:
Est ce que c'est correcte ce que je dis. :happy3:

Pour ce qui est des équations algébriques, la méthode que j'ai trouvé n'est pas valable malheureusement, mais, je continue à chercher la dessus.

Maintenant, les distributions, et bien simplement parce que, en septembre prochain je vais me réinscrire à la fac où j'étudiais il y'a quelques années, en L3, et donc, je me prépare un petit peu au module de PFE que je présenterai à la fin de l'année, et j'aimerai que ça soit autour de la théorie des courants, c'est pourquoi je cherche si ça existe des conjectures ou des problèmes ouverts là dessus.

Merci d'avance pour votre aide.

Si c'etait ça la conjecture de Hodge, il serait tres facile de prouver... qu'elle est fausse!

[barbu23]

Pourquoi ?
Tu peux corriger ce que j'ai dit. Ce sera l'occasion pour moi pour faire avancer mes connaissances dans ce domaine si cela ne te pose pas de problème. :happy3:
Merci infiniment. :happy3:

[barbu23]

Oui, c'est vrai ,j'ai confondu la dualité de Poincaré avec la dualité de Serre, ici, il faut utiliser la dualité de Serre. Et donc, voici ce qu'il faut faire :
On prend un courant d'ordre , on le projette dans la décomposition de Hodge, ça donne une expression de la forme : , on prend la partie : dans cette projection, et on montre qu'elle est paramétrisable par un cycle algébrique , c'est à dire : , ensuite, on montre que est surjective. C'est correct maintenant ?
Merci d'avance. :happy3:

[EGA-SGA]

Non toujours pas, et je ne vois pas bien en quoi ce que tu ecris fait intervenir la dualité de Serre ou de Poincaré.

[barbu23]

Non toujours pas, et je ne vois pas bien en quoi ce que tu ecris fait intervenir la dualité de Serre ou de Poincaré.

Tu peux m'expliquer ce qui manque ou ce qui est faux dans ce que j'ai dit ?
Comment formules tu la conjecture de Hodge à ta manière ?
Pour ce qui est des dualités de Poincaré et de Serre, elles interviennent dans ce qui suit :
- La dualité de Poincaré est ce que j'ai noté au départ par :

- La dualité de Serre est ce que j'ai noté au départ par :

non ?

[EGA-SGA]

La conjecture de Hodge implique des classes de Hodge c'est à dire des elements provenant de la cohomologie rationnelle. Pas de la cohomologie à coefficient complexe.
Ensuite il n'y a aucun besoin de la dualité de Serre ou de Poincaré pour definir les pairing que tu définies dans ton message.
La dualité de Poincaré assure que le premier pairing est un pairing parfait. Quand au second il est conséquence de la dualité de Serre et de la décomposition de Hodge. Ce qu'on appelle usuellement dualité de Serre c'est pas ça, mais bon c'est juste de la terminologie.

Pour en revenir à la conjecture de Hodge. Elle ne dit pas que est sujective, ce qui serait faux, par exemple pour P^n deja. Ce qu'elle dit c'est que l'est. Ce qui n'est pas la meme chose.

[barbu23]

Ah d'accord, merci beaucoup. :we:
Peux tu m'expliquer stp pourquoi : dont j'ai parlé au début de ce fil, est surjective, sans utiliser la formule de Hirzebruch - Riemann - Roch ( Cette méthode se trouve dans l'ouvrage de Daniel Huybrechts et trop compliqué à comprendre parce qu'elle utilise un raisonnement très compliqué et à la grothendieck, je n'ai pas encore appris ces notions là ), par contre, celle qui se trouve dans le livre : " A survey of hodge conjecture" n'utilise pas cette méthode, mais utilise une méthode qui est plus simple que celle là, mais malheureusement, n'est pas bien détaillé, Peux tu me l'expliquer stp cette dernière méthode dont je te parle ? ( Si cela ne te dérange pas bien sûr.
Merci infiniment pour ce service que tu me rendra. Je l’oublierai jamais de ma vie. Merci. :we:

[EGA-SGA]

Comment definis tu cette application?
Et que signifie ici L(D)?

[barbu23]

Comment definis tu cette application?
Et que signifie ici L(D)?

Je vais essayer de t'expliquer en regardant un petit dans mon cours : :zen:
Je résume ce qui est écrit dans mon cours :
Soit : groupe des diviseurs qui sont des cas particuliers de cycles algébriques en dimension .
D'après mon cours : l'espace des sections globales du faisceau : ( Si tu veux la démonstration que j'ai dans mon cours, je te la recopie ici ). est le faisceau des fonctions méomorphes.
Donc, puisque : , alors : ( je vais aller trop vite maintenant dans la description du morphisme pour ne pas perdre beaucoup de temps ), cela signifie que correspond à une famille de fonctions méomorphes : tel que chaque : est définie sur des ouverts d'un recouvrement ouvert de tel que : .
On note : ou le fibré en droites associé aux cocycles : .
Donc, on construit ainsi l'application : .
Si on prend un autre diviseur : , qui correspond à une famille de fonctions méomorphes : , avec les mêmes propriétés que celles de , et on pose : correspondant au cycle : qui sont les cocycles du fibré : par définition du produit tensoriel de deux fibrés vectoriels. D'où un homomorphisme : définie par : . Il reste maintenant à montrer qu'il est surjectif. Sais tu m'expliquer de manière simple pourquoi il est surjectif sans utiliser la méthode de Hirzebruch - Riemann - Roch ?
Merci infiniment. :happy3:

[barbu23]

Comment definis tu cette application?
Et que signifie ici L(D)?

Je vais essayer de t'expliquer en regardant un petit dans mon cours : :zen:
Je résume ce qui est écrit dans mon cours :
Soit : groupe des diviseurs qui sont des cas particuliers de cycles algébriques en dimension .
D'après mon cours : l'espace des sections globales du faisceau : ( Si tu veux la démonstration que j'ai dans mon cours, je te la recopie ici ). est le faisceau des fonctions méomorphes.
Donc, puisque : , alors : ( je vais aller trop vite maintenant dans la description du morphisme pour ne pas perdre beaucoup de temps ), cela signifie que correspond à une famille de fonctions méomorphes : tel que chaque : est définie sur des ouverts d'un recouvrement ouvert de tel que : .
On note : ou le fibré en droites associé aux cocycles : .
Donc, on construit ainsi l'application : .
Si on prend un autre diviseur : , qui correspond à une famille de fonctions méomorphes : , avec les mêmes propriétés que celles de , et on pose : correspondant au cycle : qui sont les cocycles du fibré : par définition du produit tensoriel de deux fibrés vectoriels. D'où un homomorphisme : définie par : . Il reste maintenant à montrer qu'il est surjectif. Sais tu m'expliquer de manière simple pourquoi il est surjectif sans utiliser la méthode de Hirzebruch - Riemann - Roch ?
Merci infiniment. :happy3:

[EGA-SGA]

Ton application c'est simplement celle qui a un diviseur de Cartier associe le fibré en droite associé au faisceau f_^{-1}O_U sur chaque ouvert U ou ton diviseur est représenté par f.
Tu as une suite exacte qui donne une suite exacte longue
L'avant dernière fleche est ton application. Elle te donne une application injective du groupe des classes de Cartier dans le groupe des fibrés en droite.
Pour avoir la surjectivité il faut des conditions. Par exemple que la variété soit intègre.

[barbu23]

Ton application c'est simplement celle qui a un diviseur de Cartier associe le fibré en droite associé au faisceau f_^{-1}O_U sur chaque ouvert U ou ton diviseur est représenté par f.
Tu as une suite exacte qui donne une suite exacte longue
L'avant dernière fleche est ton application. Elle te donne une application injective du groupe des classes de Cartier dans le groupe des fibrés en droite.
Pour avoir la surjectivité il faut des conditions. Par exemple que la variété soit intègre.

Ma variété est bien sûr une variété algébrique projective non singulière, suivant les hypothèses qui définissent la conjecture de Hodge. :happy3:
Est ce que est donc intègre dans ce cas là ?
Merci infiniment. :happy3:

[EGA-SGA]

Je pense que tu peux répondre toi meme à la question...