Théorèmes de Weierstrass

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Restefond34
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Théorèmes de Weierstrass

par Restefond34 » 13 Jan 2018, 15:53

Bonjour,

Nous avons vu en cours une preuve du théorème de Weierstrass polynômial qui utilise les probabilités pour prouver qu'une fonction continue sur un segment peut être approchée par un polynôme de manière uniforme.
J'avais aussi fait un sujet dans lequel on prouvait le théorème de Weierstrass trigonométrique où cette fois on approche la fonction périodique par des polynômes trigonométriques.
Je me demandais s'il y avait moyen de prouver Weierstrass trigonométrique en passant par Weierstrass polynômial en jouant sur le fait qu'on va pouvoir se restreindre au segment [0,T] où T est la période de la fonction continue périodique étudiée. J'ai essayé d'y réfléchir un peu avec les polynômes de Tchebychev mais ça n'est pas très concluant.
Auriez-vous des idées ?

Bonne journée !



Restefond34
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Re: Théorèmes de Weierstrass

par Restefond34 » 17 Jan 2018, 15:18

Personne n'a de petite idée ?...
Ou alors la question est peut-être bête mais je ne vois pas où je fais une erreur de raisonnement...

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Ben314
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Re: Théorèmes de Weierstrass

par Ben314 » 17 Jan 2018, 16:19

Salut,
Je suis pas certain du tout qu'on passe facilement de l'un à l'autre.
La démonstration "probabiliste" (comme tu dit) du théorème de Weierstrass est due à S. Bernstein et ce n'est pas la démonstration historique qu'en avait donné Weierstrass. Elle a le bon gout d'être élémentaire et surtout constructive, mais par contre, elle a le très mauvais gout d'être difficilement généralisable à autre chose que des fonctions dont l'ensemble de départ est autre chose qu'une partie de R vu qu'il faut pouvoir aussi faire du calcul "avec les x de départ" et pas seulement "avec les f(x)".
Alors que, fondamentalement, les fonction périodiques, c'est les fonctions dont l'ensemble de départ est un cercle (le cercle trigo. par exemple) ou bien, ce qui revient au même, le quotient d'un intervalle [a,b] où on a identifié les points a et b.
Bref, si on veut passer de l'un à l'autre directement, ça risque plus que beaucoup d'être du "bricolage infâme".
Surtout, c'est à mon sens, sans grand intérêt vu qu'en fait, les deux résultats découlent tout les deux du même théorème plus général, à savoir celui de Stone-Weierstrass qui explique à quelle condition une sous algèbre de l'algèbre C(K) des fonction continues à valeur réelles sur un espace topologique compact K (totalement quelconque) est dense dans C(K).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Restefond34
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Re: Théorèmes de Weierstrass

par Restefond34 » 18 Jan 2018, 01:14

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. J'ignorais qu'il existait un théorème plus général (Stone-Weierstrass) dont celui que nous avons en cours est un cas particulier. Il me semble malheureusement un peu compliqué, je suis déçu qu'on ne puisse pas avoir un passage aussi simple. Les choses ne se passent pas toujours comme on aimerait ^^

Encore merci et bonne soirée !

 

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