Théorème sur méthode itérative en général

[Mysterion]

Salut,

Je tente de démontrer la théorème suivant sur les méthodes itératives en générale.

Soit une matrice symétrique, définie positive. , avec inversible.
Si la matrice est définie positive, alors .


Il me semble qu'il faut raisonner par l'absurde. Ecrire le polynôme caractéristique et considérer une valeur propres de module supérieur ou égale à 1. Puis arriver au fait que le polynôme caractéristique ne s'annule pas en cette valeur propre.

Je pense qu'il faut représenter ce polynôme en fonction de dét(), mais je n'y arrive pas.

[jlb]

salut, je tente une explication mais ce n'est pas garanti!

1°:( c'est cette partie à laquelle je demande confirmation)

A +Mt+N=Mt+M est définie positive ( somme de définie positive)
comme XtMtX=(XtMX)t, on ne peux donc avoir XtMX=<0 fin 1°

maintenant soit U associé à rau( rayon spectrale): M^(-1)NU=rauU d'où NU=rauMU)

UtAU>0 donc UtMU - UtNU>0 d'où UtMU - rauUtMU >0

soit (1-rau)UtMU>0

Ainsi d'après 1°, 1-rau>0

si quelqu'un confirme tu as ta solution!

[Mysterion]

salut, je tente une explication mais ce n'est pas garanti!

1°:( c'est cette partie à laquelle je demande confirmation)

A +Mt+N=Mt+M est définie positive ( somme de définie positive)
comme XtMtX=(XtMX)t, on ne peux donc avoir XtMX=0 donc UtMU - UtNU>0 d'où UtMU - rauUtMU >0

soit (1-rau)UtMU>0

Ainsi d'après 1°, 1-rau>0

si quelqu'un confirme tu as ta solution!

Merci, c'est bien la solution. A + Mt +N est bien définie positive.