Théorème sur les séries

[Trident]

Bonjour à tous, il y a un théorème du cours qui dit la chose suivante :

Soit un entier naturel et une fonction continue par morceaux et décroissante.
Alors, la série converge si et seulement si l'intégrale converge !

Lorsque je vois un théorème , j'essaie toujours de l'appliquer dans un exemple pour mieux l'assimiler, donc je voudrais essayer de l'appliquer sur cette série mais je pense que mon raisonnement est faux. Tout d'abord, j'ai une question

Si une série converge, alors, pour tout entier tel que , la série converge ?

Je pense que oui, car en fait, = où est un réel fini.

Ceci étant dit, j'aimerais donc étudier la nature de la série :



Considérons la fonction f : [2; +oo[ --> R+
: x --------->


C'est une fonction continue sur [2;+oo[ donc continue par morceaux sur cet intervalle et elle est décroissante sur [2;+oo[.

Une rapide étude du signe de la dérivée le montre.

Donc finalement, d'après le théorème énoncé ci dessus, la série :

= converge si et seulement si l'intégrale impropre = converge.

Soit X > 2. Considérons l'intégrale . Elle vaut : pris entre X et 2 , soit et par passage à la limite, on obtient que :

si bien que l'intégrale diverge et donc que la série diverge..

Est-ce correct ?
Merci par avance (ps : je sais qu'il doit existe d'autres méthodes plus rapides basées sur des théorèmes de comparaisons pour étudier cette série mais mon unique but était d'utiliser le nouveau théorème du cours afin de bien l'assimiler).

[Mortelune]

Bonjour, ça me semble correct (d'ailleurs tu le dis toi même : il existe d'autres méthode pour obtenir ce résultat).