[MP] Théorème du relèvement

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euler21
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[MP] Théorème du relèvement

par euler21 » 18 Déc 2010, 02:47

Bonjour
Je voudrais s'il vous plaît savoir si le théorème du relèvement fait partie du programme MP ??
Merci d'avance



Euler07
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par Euler07 » 18 Déc 2010, 10:16

Tiens mon frère Euler21. En effet c'est au programme de MP, je suis incapable de dire ce que je sais mais je l'ai vu...

windows7
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par windows7 » 18 Déc 2010, 10:54

tiens qq1 aurait-il une implication interessante de ce th ?

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 12:03

Salut,
Si vous expliquiez ce qu'est "le théorème du relèvement", je pense que ça aiderait...

Il faudrait quand même comprendre que les nom des théorèmes, c'est quelque chose de pas standardisé du tout : cela dépend trés fréquement des auteurs, du pays, de l'époque,... en fait de la mode...

En ce qui me concerne, je pense qu'il s'agit de la notion de "tiré en arrière" que l'on utilise trés fréquement en topologie algébrique, mais ça me surprend un peu que l'on voit ça en prépa (y parle t'on de catégories et de problèmes universels ?)
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Doraki
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par Doraki » 18 Déc 2010, 12:32

Il me semble qu'en prépa on parle juste de "si f est une application continue de R -> U (nombres complexes de module 1) alors il existe g continue : R -> R tel que f(x)=e^(ig(x))".
(je me souviens pas exactement mais je doute qu'on avait un ensemble X quelconque à la place de R comme ensemble de départ)

J'crois que ça nous a servi au plus 2 fois cette année là.

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 12:33

Bon, je vient de chercher sous Google : un truc qui parrait plausible comme "théorème du relèvement", c'est le fait que toute fonction continue f d'un intervale I de R dans puisse s'écrire où g est une fonction continue de I dans R.
(C'est un cas particulier de cas particulier du théorème auquel je pensait...)

Ce théorème est ARCHI UTILE : c'est lui qui permet de définir la notion d'indice d'une courbe continue fermée du plan par rapport à un point et donc de démontrer beaucoup de "belles choses" concernant la structure topologique de certaines parties de R^2 et surtout de montrer que le groupe fondamental de R² privé d'un point est Z.

Par exemple, dans R, pour montrer que R et R*=R\{0} ne sont pas homéomorphes, la notion de connexité est suffisante.
Comment montre t'on que R² et R²\{(0,0)} ne sont pas homéomorphes avec les outils les plus rudimentaires qu'il soit ?

Bon, j'avais pas vu la réponse de Doraki, et, n'y conaissant que dalle au programme de prépa, je sais pas si ça sert à autre chose dans le cadre du programme, mais c'est un truc qui apparait trés souvent par exemple à l'agregation du fait que c'est le B.A.BA de la topologie algébrique (donc ça m'étonnerais moyen que ça apparaisse assez souvent dans des concours...)
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Doraki
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par Doraki » 18 Déc 2010, 12:45

tout à fait, dans le cadre du programme de prépa c'est archi-inutile, on s'en sert jamais.

mais j'avais remarqué que ça avait donné deux catégories d'élèves, ceux qui disent "il est bidon ce théorème il sert à rien, je vais l'oublier" et ceux qui disent "bah ouais j'pensais bien qu'il était vrai ce théorème, c'est sympa d'avoir une preuve, maintenant, même si j'essayais de l'oublier, j'pourrai pas"

windows7
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par windows7 » 18 Déc 2010, 12:47

ben > bah on peut voir l'argument de connexité/connexité simple .
( meme si au final on utilise bien la notion de "lacet" en effet .. )

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 12:59

windows7 a écrit:ben > bah on peut voir l'argument de connexité/connexité simple .
( meme si au final on utilise bien la notion de "lacet" en effet .. )
Comment fait tu pour montrer (proprement) que R² privé d'un point n'est pas simplement connexe ?
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windows7
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par windows7 » 18 Déc 2010, 13:03

c'est ce que je dis j'utilise la notion de lacet

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 13:11

windows7 a écrit:c'est ce que je dis j'utilise la notion de lacet
ça, évidement (vu que c'est dans la définition de "simplement connexe" !!!), mais j'ai bien peur que tu ne doive aussi (surtout....) utiliser la notion d'indice (donc "le théorème de relèvement") : je vois pas comment faire autrement...

Peut être me trompe-je : quelle est ta preuve (dans les grandes lignes) ?
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windows7
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par windows7 » 18 Déc 2010, 13:26

a vrai dire j'aurais pensé qu'il etait facile de montrer sans "indice" par exemple que le lacet l=e^it t dans [0,2pi] nest pas homotop a (10,10) mais vous me faites douter la

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 14:12

windows7 a écrit:a vrai dire j'aurais pensé qu'il etait facile de montrer sans "indice" par exemple que le lacet l=e^it t dans [0,2pi] nest pas homotop a (10,10) mais vous me faites douter la
Je ne vois qu'un mot à dire : "cherche"
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par windows7 » 18 Déc 2010, 14:18

t'as une preuve sans indice ?

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par Ben314 » 18 Déc 2010, 14:34

windows7 a écrit:t'as une preuve sans indice ?
A froid, j'en vois pas ou alors des trucs qui utilisent d'autres notions plus compliquées (de l'homologie)...
Mais, bien sûr, ça prouve absolument pas qu'il n'y en a pas...
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par windows7 » 18 Déc 2010, 14:38

j'ai une vague idée, mais je suis pas mais alors pas du tout sur que ca marche

je note note L mon lacet, je note H l'homotopie qui envoye L sur (10,10)
je note D=distance({0,0}, L) ( en prenant la distance algebrique, sous entendu negative si {0,0} est a l'interieur de lacet, positive sinon )
et bien on DoH qui passe de -1 a 10, comme elle est continue elle passe par 0, ie a un moment donné {0,0} serait sur le lacet .

windows7
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par windows7 » 18 Déc 2010, 14:40

sauf que dans ce cas pour dire que {0,0} est a l'interieur du lacet, bah y'a la notion d'indice tjs

euler21
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par euler21 » 18 Déc 2010, 16:45

Tout d'abord merci pour vos réponses :lol3:
Au fait j'ai une autre question concernant le théorème de convergence monotone : (même question) fait-il toujours partie du programme MP. Je l'ai vu s'appliquer en force dans l'X 2002, mais je sais que le programme a changé en 2003.
Merci pour vos réponses

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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2010, 20:37

@windows7 : Il semblerait que ta boite de M.P. soit pleine...

Sinon, j'ai pas répondu du fait que j'avais l'impression que ton dernier post montrait que tu était concient que, pour pouvoir parler de distance "algébrique", ben faudrait commencer par définir ce qu'est l'intérieur et l'extérieur d'un lacet et que je connais à peu prés qu'une seule méthode pour les définir : la notion d'indices...
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windows7isbackYEAH
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par windows7isbackYEAH » 18 Déc 2010, 20:43

mdr bon l'autre moderateur m'a banni parce que j'ai des meilleurs solutions que lui :ptdr:
bon le probleme de la boite pleine ne se pose plus vu que j'y ai plus acces :p
merci des confirmer mon doute ben :)

 

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