Théorème du rang

[lost-_-]

Salut,
SVP , J'ai besoin d'aide :triste:

Je ne comprends pas comment prouver que:

" Ker f +Ker g =E "
Ayant rg(f+g)=rg f+ rg g et en utilisant l'inclusion : Im f < Im (f+g)

* f et g deux application linéaire dans E k-espace vectoriel.


Merci d'avance!

[jeje56]

Ker et Im sont deux SEV supplémentaires de E, on dit aussi qu'ils sont en somme directe sur E...

Le théorème du rang dit que dim(Ker)+dim(Im)=dim(E) avec dim(Im) égale au rang par définition

[ThSQ]

Ker et Im sont deux SEV supplémentaires de E, on dit aussi qu'ils sont en somme directe sur E...

Tu déduis ça de l'énoncé ? (c'est bien sûr faux en général).


rg(f+g) = rg(f) + rg(g) => Im(f+g) = Im(f) + Im(g), somme directe

Donc pour tout x il existe y tel que : f(x) + g(0) = (f+g)(y)
comme la somme est directe f(x-y) = g(y) = 0 et x = (x-y) + y