Salut Mary Kate.
J'ai pensé aux choses suivantes, je les écris en vrac :
1) Le critère de convergence d'une suite en s'intéressant aux sous-suites des termes pairs et des termes impairs.
2) Les valeurs de la fonction
qu'on ne sait expliciter que pour les entiers pairs.
3) L'existence d'un cycle eulérien dans un graphe, qui dépend de la parité du nombre d'arêtes qui arrivent à chaque sommet.
4) Un entier est somme de deux carrés si et seulement si les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 qui le divisent ont une valuation paire.
5) Un polynôme réel de degré impair admet une racine réelle.
6) Un entier algébrique de degré impair n'est pas constructible à la règle et au compas.
7) Tout groupe simple fini non cyclique est d'ordre pair (mais c'est d'un niveau beaucoup trop élevé).
8) La parité du nombre de transpositions dans l'écriture d'une permutation comme produit de transpositions.
9) Il y a une démonstration de la loi de réciprocité quadratique qui est élémentaire et qui fait intervenir à un moment clé le fait qu'un certain ensemble a un nombre pair d'éléments...
Mais je passe sans doute à côté de choses bien plus importantes.... Dis moi si c'est ce type d'informations que tu recherchais.
A+