Théorème de la limite monotone
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Kolis
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par Kolis » 27 Aoû 2019, 20:27
Déjà répondu : tu as un minorant qui est fini !
Comment veux-tu que la borne inférieure ne le soit pas ?
Modifié en dernier par
Kolis le 27 Aoû 2019, 20:34, modifié 2 fois.
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Kolis
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par Kolis » 27 Aoû 2019, 20:32
Mais bon sang !, ouvre les yeux !
Pour une fonction croissante, la limite à droite est une borne inférieure.
Tu as indiqué un minorant
: donc la borne inférieure est finie.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 27 Aoû 2019, 21:15
J'ai enfin compris votre remarque. Merci pour votre aide.
Le problème est que dans mon livre, l'auteur n'a pas démontré le théorème de la limite monotone dans le cas de la limite en
. L'ayant fait, je viens de comprendre !
Étudions la limite en
de
.
1er cas : minoré.Posons
Soit
Par définition de la borne inférieure, il existe un
tel que :
On a par ailleurs
Pour
c'est-à-dire pour
on a par croissance de
:
On a montré que
Ainsi :
la limite est bien finie.
2ème cas : non minoré.Alors
Soit
un réel. Il existe
tel que
. Ainsi on a pour
:
Soit par définition
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