Théorème de la limite monotone

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une fonction monotone définie sur un intervalle ouvert avec et . Alors et existent dans

La démonstration est réalisée pour le cas croissante et l'auteur précise : "on peut supposer sans perte de généralité que est croissante."

Je ne comprends pas pourquoi on n'a pas besoin de refaire la démonstration pour décroissante. Comment l'adapter rapidement pour ne pas tout refaire ?

La démonstration part du cas majorée.
Soit , par définition de la borne supérieure il existe un réel tel que . D'après la croissance de , pour on a :

Par définition de la limite

[GaBuZoMeu]

Si est décroissante, que peux-tu dire de ?

[mehdi-128]

est croissante mais je ne vois pas quel point modifier dans le démonstration pour adapter.

Ça donne : majorée.
Mais c'est quoi ?

Puis on tombe sur pour : pareil ça donne rien.

[GaBuZoMeu]

Réfléchis.

Il s'agit juste d'utiliser le résultat démontré pour une fonctio croissante.

[mehdi-128]

Intuitivement si elle est minorée elle va tendre vers la borne inférieur de et si elle n'est pas minorée elle va tendre vers moins l'infini.

Donc je dois refaire toute la démonstration avec le cas minoré etnon minoré ?

[GaBuZoMeu]

Je répète: il suffit d'utiliser le résultat démontré pour une fonction croissante.
Et si est décroissante, il y a une fonction croissante évidente à laquelle appliquer le résultat démontré !
Quel est le résultat démontré, au fait ?

[lyceen95]

Refaire la démonstration, c'est un bien grand mot.

Recopie la démonstration, en remplaçant les mots 'croissant' par 'décroissant' , 'positif' par 'négatif' , 'plus' par 'moins' ... et voilà.

Le travail de réflexion ne devrait pas être trop compliqué.

[mehdi-128]

Ah d'accord merci je pense avoir compris.

Supposons décroissante.
Si une fonction croissante définie sur avec et . Alors et existent dans
On en déduit que et existent dans

[mehdi-128]

Refaire la démonstration, c'est un bien grand mot.

Recopie la démonstration, en remplaçant les mots 'croissant' par 'décroissant' , 'positif' par 'négatif' , 'plus' par 'moins' ... et voilà.

Le travail de réflexion ne devrait pas être trop compliqué.

Borne supérieure par borne inférieure, par etc

[GaBuZoMeu]

Inutile de recopier la démonstration en changeant les mots.
On a montré que si est croissante sur elle a une limite en et en (dans la droite achevée.
Si est décroissante sur , alors est .... et donc a .... , ce qui prouve que a ...

[mehdi-128]

Si est décroissante sur , alors est croissante et donc admet une limite , ce qui prouve que admet une limite.

[GaBuZoMeu]

limite en et en .

[mehdi-128]

Ok merci !

[mehdi-128]

Je veux faire le même raisonnement pour le corollaire suivant pour décroissante mais je bloque.


Soit une fonction croissante définie sur un intervalle d'extrémités et dans alors :
Pour tout , la fonction a une limite a droite en et
Pour tout , la fonction a une limite a gauche en et

Si est décroissante alors est croissante. a une limite a droite en et

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une fonction monotone définie sur un intervalle ouvert avec et . Alors et existent dans

La démonstration est réalisée pour le cas croissante et l'auteur précise : "on peut supposer sans perte de généralité que est croissante."

Je ne comprends pas pourquoi on n'a pas besoin de refaire la démonstration pour décroissante. Comment l'adapter rapidement pour ne pas tout refaire ?

La démonstration part du cas majorée.
Soit , par définition de la borne supérieure il existe un réel tel que . D'après la croissance de , pour on a :

Par définition de la limite

Je ne comprends pas un passage dans la suite :

Soit . Puisque est croissante, on a pour tout : .
Puisque la fonction est croissante et minorée par d'après la démonstration ci-haut, la fonction admet une limite finie en .

En quoi la démonstration ci haut justifie que admet une limite finie en ?

[mehdi-128]

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Ceci est la démonstration du résultat suivant :

Soit une fonction croissante définie sur un intervalle d'extrémités dans alors pour tout la fonction a une limite à droite en et

[Kolis]

La démonstration part du cas majorée.

Je ne comprends pas un passage dans la suite :
Soit . Puisque est croissante, on a pour tout : .
En quoi la démonstration ci haut justifie que admet une limite finie en ?

Quand on voit ce genre de questions on se demande ce que tu as compris de ce qui a été écrit précédemment ? Ou alors tu as des connaissances insuffisantes pour le comprendre !

Bref on te donne explicitement un minorant d'un ensemble de réels et tu voudrais savoir pourquoi la borne inférieure est un réel ?

Ou alors tu lis sans réfléchir et n'as pas compris l'importance de qui est fondamentale !

[mehdi-128]

Mais à quoi sert le minorant ? Pourquoi vous parlez de borne inférieure est décroissante et non pas croissante ?

Dans la démonstration on a : et

Mais ici qu'est ce que j'en sais si est majorée Pour avoir une limite finie il faut croissante majorée ou décroissante minorée d'après ce que j'ai vu dans le chapitre précédent sur les suites non ?

On sait juste que : : .

[Kolis]

Donc tu sais que minore et tu as perdu de vue que tu cherches la limite à droite en (sinon aucune raison de manipuler les ).
Pour les limites à gauche d'une fonction croissante on regarde la borne supérieure, pour les limites à droite c'est différent.
C'est d'ailleurs ce que tu as écrit en toutes lettres dans ton message : "Quelqu'un pourrait m'aider ?" à 00:41
Belle occasion de redire que tu ne lis pas ce que tu écris !

[mehdi-128]

Je n'ai rien perdu de vue, c'est ce qui est écrit dans mon livre mot pour mot ! Je cite :

Appliquer le théorème de la limite monotone à pour obtenir l'existence de la limite à droite.

C'est bien une limite à droite restreinte à un voisinage de , avec .

Soit . Puisque est croissante, on a pour tout :

Puisque la fonction est croissante et minorée par , d'après la démonstration du théorème de la limite monotone, la fonction admet une limite finie en .

Mais toujours : pourquoi elle admettrait une limite finie ? Comment on sait que la limite est finie ?