Théorème d’inversion locale

[dyouk38]

Bonjour je suis en L3 mathématiques, et j’ai un exercice de calcul différentiel que je n’arrive pas à résoudre, j’aurais besoin d’un peu d’aide svp. Le sujet est :
« OnconsidèreC={(x,y,z)∈R3 |x2+y2+xz=0, x−y2+z2 =2}.
Écrire C = F−1(0) pour une certaine fonction F de classe C1 et montrer à l’aide du théorème des fonctions implicites qu’au voisinage de tout point de C sauf un nombre fini de points, qu’on déterminera, C est localement paramétrée par (y,z) = φ(x) = (φ1(x),φ2(x)) c’est-à- dire est localement le graphe {(x,φ1(x),φ2(x)), x ∈ W ⊂ R} d’une fonction φ = (φ1,φ2) définie sur un ouvert W de R. Précisément, si C∗ désigne l’ensemble C privé de cet ensemble fini de points, on a :
∀(x0,y0,z0) ∈ C∗, ∃U ouvert de R3, (x0,y0,z0) ∈ U, ∃W ouvert de R, x0 ∈ W,∃φ : W → R2
(x,y,z)∈U∩C⇔x∈W et(y,z)=φ(x).
Déterminer une telle fonction φ pour (x0,y0,z0) ∈ C telle que y0 > 0, z0 > 0 (on précisera des ouverts U et W vérifiant la propriété demandée). »

Pour la premier question je ne vois pas quelle fonction choisir, car on parle de l’image réciproque de 0 et dans C il y a deux équations, je pensais donc que l’on aurait l’image réciproque de (0,0). Je n’ai encore jamais manipulé le théorème d’inversion locale, je l’ai uniquement vu en cours.

Merci par avance.

[mathelot]

re-bonsoir,
On peut caractériser C par



On calcule les dérivées partielles:


après ces calculs, il faudra appliquer le théorème des fonctions implicites.

remarque: on ajoutant les deux égalités , on obtient:
donc z est localement fonction de x.
ensuite
donc y est localement fonction de x.

[dyouk38]

Oui je vois a peu pres, mais F est censée être de R3 dans R non ?

[mathelot]

je ne pense pas.

[dyouk38]

Ah oui déjà je me suis trompée dans le titre du sujet c’est théorème des fonctions implicites et pas d’inversion locale.

Mais après avoir calculer les dérivées partielles, je ne vois vraiment pas où aller, parce que on veut y et z qui dépendent de x mais ce n’est pas le cas.