Théorème de factorisation

[Ncdk]

Bonjour,

J'avais une question concernant l'application de ce théorème.

Je me retrouve dans un cas où je dois prouver que l'application que j'ai factorisé n'est pas injective, du moins je pense et je voulais savoir une simple question, l'application s'apelle la surjection canonique, donc elle est surjective, et je voulais savoir une chose, est-ce vrai de dire ça :

à l'aide de la surjectivité ? est-ce que c'est vrai, si oui, peut-on m'aider à le montrer ?

[BiancoAngelo]

Bonjour,

J'avais une question concernant l'application de ce théorème.

Je me retrouve dans un cas où je dois prouver que l'application que j'ai factorisé n'est pas injective, du moins je pense et je voulais savoir une simple question, l'application s'apelle la surjection canonique, donc elle est surjective, et je voulais savoir une chose, est-ce vrai de dire ça :

à l'aide de la surjectivité ? est-ce que c'est vrai, si oui, peut-on m'aider à le montrer ?

Salut.

Hum, tu m'as l'air d'avoir écrit la contraposée de l'injectivité, non ?

Injectif : f(a) = f(b) => a = b.

Donc a différent de b implique f(a) différent de f(b)...

Injectif c'est qu'on envoie de "façon propre" vers un ensemble, sans pour autant avoir réussi à aller vers tout le monde.
Surjectif, c'est qu'on envoie partout, mais un peu trop...

C'est ma vision de l'injectivité/surjectivité :ptdr: (vision concrète j'entends).

[Ncdk]

Oui c'est ce que j'ai mit, je voulais en fait prouver que c'était pas injectif, donc en fait je sais pas si je peux plutôt partir sur de l'absurde, c'est-à-dire on prends x et y quelconque, puis on sait déjà que f(x)=f(y) et arriver sur une contradiction au final donc trouver un x différent de y.

Mais ce qui me gène c'est qu'en fait ça revient à trouver des contres exemples, mais comme j'ai pas trop l'idée, l'astuce pour les trouver, j'aimerai faire une preuve correcte.

Je pense que je vais mettre mon exercice ici :

Soient un entier, et .
Etant donné deux matrices A et B dans E, on dit que A est semblable à B s'il existe une matrice P dans E inversible telle que

1) Montrer que la relation "être semblable" est une relation d'équivalence. FAIT
2) Montrer que l'application déterminant, de E dans est constante sur les classes d'équivalence de E pour la relation "être semblable".FAIT
3) Appliquer le théorème de factorisation. L'application ainsi factorisée est-elle injective ?

J'en suis donc au 3), j'ai mon application factorisée, mais je voulais savoir si on pouvait prouver rigoureusement que cette application est pas injective autrement que de donner des contres-exemples ?

[zygomatique]

salut

soit r la relation d'équivalence "être semblable" et s la surjection canonique s : E --> E/r

tu cherches donc à savoir si la fonction det o s est injective ou encore DET : E/r --> R est injective ....

soit une base de

il suffit de considérer la classe de la matrice de la fonction :

pour j > i


ce me semble-t-il ....

[Skullkid]

je voulais savoir si on pouvait prouver rigoureusement que cette application est pas injective autrement que de donner des contres-exemples ?

Salut, exhiber des contre-exemples est une manière parfaitement rigoureuse de montrer qu'une proposition est fausse ! C'est même bien souvent la meilleure façon de faire.

[Ncdk]

D'accord merci de vos réponses, je voulais juste savoir si on pouvait faire une preuve sans exhiber un contre-exemple, mais bien entendu j'ai trouvé un contre-exemple avec une matrice identité et l'autre une triangulaire.