Théorème des treillis

[simplet]

Bonjour,
A la lecture d'une démonstration (toujours sur les théorèmes de Sylow pour ceux qui auraient vu mon précédent message :-) il intervient le "théorème des treillis"... sauf que je n'ai trouvé l'énoncé de ce théorème (et encore moins la démonstration) nul part!

Je vous mets en situation:

G est un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G, et L un sous-groupe de G/H.
Apparement d'après le "théorème des treillis" il existe un unique sous-groupe K de G tel que K/H=L.

si quelqu'un pouvait m'aider.. merci d'avance

[mathelot]

je vais surement dire une bêtise:
étant distingué dans , est un groupe. si est la surjection canonique:

p étant un morphisme de groupe. pour l'existence, ne conviendrait pas ?

[abcd22]

Bonjour,

Bonjour,
A la lecture d'une démonstration (toujours sur les théorèmes de Sylow pour ceux qui auraient vu mon précédent message il intervient le "théorème des treillis"... sauf que je n'ai trouvé l'énoncé de ce théorème (et encore moins la démonstration) nul part!

Je vous mets en situation:

G est un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G, et L un sous-groupe de G/H.
Apparement d'après le "théorème des treillis" il existe un unique sous-groupe K de G tel que K/H=L.

Ça vient du fait que l'ensemble des sous-groupes de G contenant H et l'ensemble des sous-groupes de G/H sont en bijection par l'intermédiaire de p (à un sous-groupe K de G contenant H on associe p(K) qui est bien un sous-groupe de G/H car p est un morphisme de groupes, dans l'autre sens c'est ce qu'a dit Mathelot, il faut vérifier que ce sont bien des applications inverses l'une de l'autre). Je n'avais jamais entendu appeler ce résultat « théorème des treillis » par contre.

[simplet]

J'ai trouvé dans un autre livre une fin de démonstration semblale à ce que propose Mathelot (je l'ai donc gardé étant plus simple).

Pour répondre à abcd22 (qui apparement aime bien la théorie des groupes :-)
j'ai trouvé cette utilisation de ce fameux "théorème des treillis" dans le livre de Jean-Pierre Serre: représentation linéaire des groupes finis, chez hermann.


Merci en tout cas!!