Théorème des résidus (Bac+3)

[koiut]

Bonjour,
je suis en train de calculer une série d'intégrales et j'ai du mal sur quelques unes, je sollicite votre aide si vous le voulez bien pour l'une d'entre elle :



Je vous donne ce que j'ai fais (en allant vite sur la rédaction) :
je pose f(z) qui est la fonction a intérieur de l'intégrale (x --> z)
On remarque que f(z) est pair donc l'intégrale de 0 à l'infini c'est égale à la moitié de l'intégrale entre les deux infinis

Je pose :


(gamma1 : [-R R] sur l'axe des abscises, gamma2: le demi cercle reliant les extrémités de gamma1 et gamma l'union des deux)

les points singuliers de f sont :

z1=a z2=-a z3=ia z4=-ia

Seul z3 se trouve dans le demi-disque formé par gamma : (z1 étant sur le bord je sais pas quoi en faire)

donc
on a alors :



en utilisant la formule P(z)/Q'(z) car z3 est un pole unique


en faisant tendre R vers l'infini

je passe les détails mais j'arrive a le minoré et quand R tends vers l'infini :


finalement j'ai donc :


Merci de votre aide
Bonne journée

[Ben314]

Salut,
Hummmm . . . , Personellement, lorsque je prend z=a(=z1), ben je trouve pas 0 pour z^4+a^4.
Sans parler du fait que, si a et-a étaient , comme tu l'affirme, des pôles de f, ça n'aurait pas de sens d'intégrer sur un chemin de -R à R qui passe pile poil sur des pôles (si R>a)

[koiut]

Salut,
Hummmm . . . , Personellement, lorsque je prend z=a(=z1), ben je trouve pas 0 pour z^4+a^4.
Sans parler du fait que, si a et-a étaient , comme tu l'affirme, des pôles de f, ça n'aurait pas de sens d'intégrer sur un chemin de -R à R qui passe pile poil sur des pôles (si R>a)

Bon effectivement j'ai été bête là :





Mais maintenant les calculs suivant se compliquent je ne vois pas comment calculer mes residues pour z1 et z2, avec la limite (z-z0)f(z) ou P(x)/Q'(x) j'obtient un calcul horrible à calculer, y'a t-il une autre méthode ? Peut-être que je m'y prends mal ?

voilà ce que j'ai...
(edit c'est faux)
et du coup :
(edit c'est faux)

J'imagine bien que c'est pas normal... où me suis-je loupé ?

[Ben314]

Je sais pas trop comment tu t'y prend, mais ça me semble bien compliqué. . .
où est une des 4 racines quatrièmes de -1 donc avec .
Ensuite, ces 4 poles sont des poles doubles (à cause du carré dans ) donc tu risque pas d'obtenir le résidu à coup de P'/Q' vu que ça n'est évidement valable que pour les pôles simples (rappelle toi de la preuve).
Donc il faut évaluer le début du développement de Laurent jusqu'au terme en 1/(z-z0) pour avoir le résidu.

[koiut]

Je sais pas trop comment tu t'y prend, mais ça me semble bien compliqué. . .
où est une des 4 racines quatrièmes de -1 donc avec .
Ensuite, ces 4 poles sont des poles doubles (à cause du carré dans ) donc tu risque pas d'obtenir le résidu à coup de P'/Q' vu que ça n'est évidement valable que pour les pôles simples (rappelle toi de la preuve).
Donc il faut évaluer le début du développement de Laurent jusqu'au terme en 1/(z-z0) pour avoir le résidu.

Bonjour,
Alors effectivement par un développement de Laurent ca aurait surement été plus facile... J'avais complètement oublié existence de cette méthode, il faudrait que je la revoit. Mais ce matin j'ai réussi avec la méthode que j'ai cité plus haut en j'en suis assez fière
je suis passé par un changement de variable u = a/x

on doit alors résoudre :


avec


les singularités a prendre en compte sont :




on calcul les deux résidu avec les poles double donc


Bon la le calcul est horrible il faut dérivé puis factorisé puis faire une décomposition en élément simple
on trouve :




On faite le théorème des résidus :



On fait le blabla pour prouvé que sur le demi cercle l'intégrale vaut 0 et que sur la droite -R R c'est égale à notre intégrale
On remarque que notre fonction est paire donc on peut divisé par 2 pour le calcul de l'intégrale sur 0 +inf

Au final on trouve que l'intégrale de l'énoncé vaut :


Merci beaucoup pour votre aide