Theoreme de la deivabilite

[chrispalaiseau]

bonjour
pourriez-vous m'aider a demontrer le theoreme suivant:

theoreme:Si f est dérivable sur I et f;) ne s’annule pas sur I, alors f;)1 est dérivable sur J, de
dérivée et f(;)1);)(yo) = 1/f'(x0)=1/[f'(f(-1)(y0))] ?
ps:f(-1) est la reciproque de f

Merci de vos reponses

[Le_chat]

forme le taux de variation de f(-1), regarde ce que ça te donne.

[chrispalaiseau]

forme le taux de variation de f(-1), regarde ce que ça te donne.

en posant g(x) le taux d'accroissement je trouve
g(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=[f(f(-1)(y))-f(f(-1)(y0))]/[f(-1)(y)-f(-1)(y0)]

[Anonyme]

Salut chrispalaiseau

Relis ton cours sur le chapitre dérivation d'une fonction
et tu comprendras certainement pourquoi Le_chat t'a demandé de calculer un taux de variation

Essaie de "retrouver" dans ton cours le lien entre taux de variation d'une fonction entre x et x0 et la notion de nombre dérivé en x0


ps1)
Dans une démo d'un théorème , il est souvent nécessaire d'utiliser TOUTES les hypothèses
ICI il faut utiliser l'hypothèse si x0 alors f est dérivable en x0 et f'(x0) 0


ps2)
Une fois que tu as compris ce qu'est la notion de "nombre dérivé"
alors c'est très facile de comprendre la notion de "fonction dérivée" sur un intervalle donné

[mathelot]

bonjour,

en fait, quand on lit "démontrer que" , on se dit "le théorème n'est pas trivial".
En effet , il s'agit de démontrer que f est un homéomorphisme,ie, en clair que
la fonction réciproque est continue.

Ceci, pour pouvoir considérer la limite du taux d'accroissement de la fonction réciproque.

cordialement,

ps: je prendrai les hypothèses suivantes
f bijective sur un intervalle I, f ' >0 , f continue sur I.

par exemple, si on devait calculer, brut de fonderie , la dérivée de arcsin(), et que le cercle trigonométrique ressemble à un oursin avec piquants, arcsin() ne serait pas une fonction dérivable :we:

[chrispalaiseau]

bonjour,

en fait, quand on lit "démontrer que" , on se dit "le théorème n'est pas trivial".
En effet , il s'agit de démontrer que f est un homéomorphisme,ie, en clair que
la fonction réciproque est continue.

Ceci, pour pouvoir considérer la limite du taux d'accroissement de la fonction réciproque.

cordialement,

ps: je prendrai les hypothèses suivantes
f bijective sur un intervalle I, f ' >0 , f continue sur I.

par exemple, si on devait calculer, brut de fonderie , la dérivée de arcsin(), et que le cercle trigonométrique ressemble à un oursin avec piquants, arcsin() ne serait pas une fonction dérivable :we:

merci de ta reponse je vais suivre cette piste et je vous tiens au courant

[Anonyme]

@chrispalaiseau

A priori il y a 2 notions à ne pas confondre :

1) la notion de bijection et la notion de fonction réciproque

2) la notion de dérivabilité de la fonction réciproque

A priori je dirai que "ton" théorème concerne la 2ième notion :
c'est à dire : à partir d'une fonction bijective, continue et dérivable on cherche des conditions pour que la fonction réciproque soit elle même dérivable

ET on peut , alors, appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée car on a f ° f^-1 = Id

[chrispalaiseau]

@chrispalaiseau

A priori il y a 2 notions à ne pas confondre :

1) la notion de bijection et la notion de fonction réciproque

2) la notion de dérivabilité de la fonction réciproque

A priori je dirai que "ton" théorème concerne la 2ième notion :
c'est à dire : à partir d'une fonction bijective, continue et dérivable on cherche des conditions pour que la fonction réciproque soit elle même dérivable

ET on peut , alors, appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée car on a f ° f^-1 = Id

merci de me repondre mais est ce que je pourrais avoir un ppeu plus de precision ?

[Anonyme]

merci de me repondre mais est ce que je pourrais avoir un ppeu plus de precision ?

Salut

C'est quoi ta question ?

La démonstration du théorème sur la dérivabilité de la fonction réciproque d'une fonction bijective et dérivable se trouve un peu partout :sur internet , dans ton cours , dans des bouquins de maths , ...etc..