Théorème de convergence en série de fonctions

[Gurvan44]

Bonjour à tous,
Je bute sur une notion qui est un peu essentielle pour comprendre la suite du cours sur les séries de fonctions que je suis en train de voir.

Il s’agit du troisième point du “Théorème 2” qui découle du “Théorème 1” (je n’ai aucun problème avec le “Théorème 1”).
Voici les énoncés ainsi que ma question.

https://drive.google.com/open?id=11wuV0 ... gCwm4lbj9u

Merci beaucoup à tous ceux qui essaieront de m’aider !

[aviateur]

Bonjour
J'ai pas bien compris ta question. Le théorème 2 c'est ni plus ni moins que le th1 appliqué
la suite
La suite vérifie les hypothèses du th1 . La conclusion du th 1 donne exactement celle du th 2.

[Gurvan44]

Eh bien selon moi l'application directe, exact du th1 à Sn donne ce qui est commenté par "ça ok" sur ma photo.
Je ne vois pas en quoi la permutation des symbole somme et intégrale est-elle directement la conséquence du th.1, selon moi cela vient de mon raisonnement encadré en rouge, mais ma question est de savoir si ce raisonnement est juste, ou même simplement nécessaire ?

[guillaume100]

Salut,

tu passes à la limite dans ton égalité en justifiant que le terme de droite converge mais j'ai pas compris ce qui te permet de dire ça, et même si le terme de droite converge je crois pas qu'y ait un théorème qui permet de dire que si u(n)=v(n) pour tout n alors la limite de u est la même que v pour ça il suffit que u ou v soit continu non (ou u et v continues je sais pas)?

En tout cas, le théorème 1 il est appliqué à la fonction Sn qui converge uniformément, une somme infinie est une limite des sommes partielles

[aviateur]

Eh bien selon moi l'application directe, exact du th1 à Sn donne ce qui est commenté par "ça ok" sur ma photo.
Je ne vois pas en quoi la permutation des symbole somme et intégrale est-elle directement la conséquence du th.1, selon moi cela vient de mon raisonnement encadré en rouge, mais ma question est de savoir si ce raisonnement est juste, ou même simplement nécessaire ?

Bon je ne vais pas commenter un raisonnement que je ne comprends pas et qui par ailleurs n'a pas lieu. Si il y a un raisonnement il faut au moins que cela soit clair.
Vaguement "je vois (1) [une intégrale d'une somme (finie)] égale à (2) [à la somme des intégrales] et puis tu ajoutes que (1) cv (2). Perso je suis pas étonné parce (1) et (2) c'est pareil. Et tu ajoutes les limites sont égales.
Et bien moi je me demande si c'est du raisonnement.
En fait la seule chose que je vois c'est que tu ne comprends que (A) est une simple conséquence du th 1 appliqué à la suite
Qui dit que converge et que sa limite c'est
Et ça c'est (A). Et c'est tout.


Moralement le th 1 dit qu'on peut intervertir la limite des intégrales (des f_n) et intégrales de la limite (des f_n).
Quand les f_n sont en fait les somme partielles d'une série notées S_n
ça donne
c'est bien (A)

[Gurvan44]

Aviateur, tu essaies de me dire que mon raisonnement est tellement évident et direct qu'il n'est pas vraiment un raisonnement et qu'il n'est pas nécessaire c'est ca ?
J'ai ajouté au drive : "raiso 2" qui est une version plus claire de mon raisonnement mais je suis désolé, je ne vois pas en quoi ce dernier est inutile, enfin pour ma part, il m'aide à être convaincu par ce théorème.

[aviateur]

Je ne vois pas le raiso"2".
Maintenant ne me fait pas dire ce que je n'ai pas dit. Il faut comprendre:
dans mon message précédent j'explique avec un peu plus de détails que (A) est la simple transcription du th1 appliqué au somme partielle
C'est exactement ce qui est dit dans le bouquin. C'est laconique mais suffisant (au moins pour moi).
Si on ne comprend pas on peut toujours expliquer avec une ou 2 lignes supplémentaires. Cela ne s'appelle pas un raisonnement (raisonement=démo) mais une explication plus détaillée un point c'est tout.

[LB2]

Bonjour,

en fait ce que tu dis dans tes raisonnements est une paraphrase du bouquin, mais attention, tu ne précises pas l'essentiel : le mode de convergence. Il est essentiel de supposer que la convergence de la suite des sommes partielles vers S soit UNIFORME.
Ecrire "->" ou encore "lim" sans préciser le mode de convergence est ambigu et amène à toutes les imprécisions/erreurs possibles.

Avec un peu de recul, le théorème 1 énonce que "la convergence uniforme sur l'intervalle [a,b] implique la convergence en moyenne sur l'intervalle [a,b]"

Le théorème 2 est l'application du théorème 1 lorsque la suite de fonctions est une suite de sommes partielles.

[Gurvan44]

Oui oui ok je vois bien l'idée aviateur, et merci LB2 pour la précision.
Et c'est bon c'est très clair, c'était vraiment pas grand chose après tout.